Математикалық бұзылыстар теориясы

Кіріспе

Математика және қолданбалы математикада, проблеманың шамамен шешімін табу әдістері perturbation теориясы болып табылады. Математика және қолданбалы математикада perturbation теориясы, байланысты, қарапайым мәселенің нақты шешімінен басталып, проблеманың шамамен шешімін табу әдістерін қамтиды. Бұл әдістің маңызды ерекшелігі – мәселені «шешілетін» және «perturbation» бөліктерге бөлетін аралық қадам. Perturbation теориясында шешім кішкентай параметрдегі қуат қатары түрінде беріледі. Perturbation әдістері бастапқы мәселенің оңайлатылған түрінен басталады, ол дәл шешілетіндей қарапайым. Аспан механикасында бұл әдетте Кеплер эллипсі болып табылады. Ньютондық гравитация бойынша эллипс, гравитациялық денелер екі ғана болған кезде (мысалы, Жер мен Ай) дәл болып табылады, бірақ үш немесе одан көп нысан болған кезде (мысалы, Жер, Ай, Күн және Күн жүйесінің қалған бөлігі) толыққанды дұрыс емес, сондай-ақ гравитациялық өзара әрекеттесуді жалпы салыстырмалылық теориясының формулаларын пайдаланып сипаттағанда да толыққанды дұрыс емес.

Қиындықты кеңейту

Жоғарыда келтірілген мысалды ескере отырып, perturbation series алу үшін жалпы тәсіл қолданылады. Perturbative кеңейту, оңайлатылған мәселеге тізбектей түзетулер қосу арқылы құрастырылады. Түзетулер, бұзылмаған шешім мен жүйені толық сипаттайтын теңдеулер арасындағы үйлесімділікті қамтамасыз ету арқылы алынады. Бұл теңдеулер жинағын былай жазыңыз; яғни, символ шешілуге тиіс мәселені білдірсін. Көбінесе бұл дифференциалдық теңдеулер болады, сондықтан "D" әрпі қолданылады. Бұл процесс әдетте механикалық, бірақ еңбекті талап етеді. Біріншіден, теңдеулерді екі бөлікке бөліп жазады: дәл шешімі бар теңдеулер жинағы және кішкентай үшін қалған қосымша бөлік . шешімі (теңдеуге) белгілі, ал жалпы шешімін табу қажет.

Келесі қадамда жақындау теңдеуге енгізіледі. Бұл, жалпы жағдайда, интегралдар бойынша қосынды түрінде жабық түрде жазылатын теңдеуге әкеледі. Осылайша, бірінші реттік түзету алынды, демек, - мәселенің жақсы жуықтамасы. Бұл жақсы жуықтама, себебі ескерілмеген бөліктерінің мөлшері шамалы болды. Процесс одан әрі қайталанып, түзетулерді және т.б. алуға болады. Іс жүзінде, бұл процесс тез арада көптеген терминдерге ұласып, оларды қолмен басқару өте қиынға соғады. Айзек Ньютон Ай орбитасының мәселесіне қатысты: "Менің басымды ауыртып жатыр" деген. Бұл басқару мүмкін еместігі perturbation теориясын осы жоғары ретті терминдерді басқару және жазудың жоғары деңгейіне жеткізді. Кванттық механикада кеңейтуді басқарудағы маңызды жетістіктердің бірі – Фейнман диаграммалары, олар кванттық механикалық perturbation тізбектерін эскиз түрінде көрсетуге мүмкіндік береді.

Тарих

Пертурбация теориясы алғаш рет Күн жүйесіндегі планеталардың қозғалысын есептеуде басқаша шешілмейтін мәселелерді шешу үшін жасалды. Мысалы, Ньютонның жалқы тартылыс заңы екі астрономиялық дененің тартылысын түсіндірді, бірақ үшінші дене қосылғанда, туындайтын мәселе: «Әрбір дене қалай тартылады?» Кеплердің орбиталық теңдеулері Ньютонның гравитациялық теңдеулерін тек қана екі дене өзара әрекеттескенде ғана шешеді. Астрономиялық байқаулардың дәлдігінің артуы Ньютонның гравитациялық теңдеулерінің шешімдеріне қойылатын талаптардың өсуіне әкелді, бұл 18-ші және 19-шы ғасырлардағы Лагранж және Лаплас сияқты көрнекті математиктерді пертурбация теориясының әдістерін кеңейтуге және жалпылауға итермеледі. Бұл жақсы дамыған пертурбация әдістері 20-шы ғасырдағы атомдық және субатомдық физиканың дамуы кезінде туындаған жаңа мәселелерді шешу үшін қабылданып, бейімделді. Поль Дирак 1927 жылы радиоактивті элементтерде бөлшектің шығуының ықтималдығын бағалау үшін кванттық пертурбация теориясын жасады. Бұл кейіннен Фермидің алтын ережесі деп аталды. Кванттық механикадағы пертурбация теориясы салыстырмалы түрде қолжетімді, себебі кванттық механика сызықтық толқын теңдеулерімен шектеледі, сонымен қатар кванттық механикалық нотация өрнектерді тығыз жазуға мүмкіндік береді, осылайша оларды түсіну оңайлайды. Бұл Земан эффектісінен бастап сутек атомының гипержұп бөлінуіне дейін көптеген қолданыстарға әкелді. Жазу әлдеқайда қарапайым болғанымен, кванттық өріс теориясына қолданылатын пертурбация теориясы оңай күрделене түседі. Ричард Фейнман көптеген мүшелердің үлгілі түрде қайталануын байқап, атақты Фейнман диаграммаларын жасады. Бұл мүшелерді нүктелермен, сызықтармен, толқындармен және осыған ұқсас белгілермен алмастыруға болады, олардың әрқайсысы мүшені, бөлімді, интегралды және т.б. білдіреді; осылайша күрделі интегралдарды қарапайым диаграммалар түрінде жазуға болады, олардың мағынасы бойынша ешқандай түсініксіздік болмайды. Диаграммалар мен нақты интегралдар арасындағы бір-бірге сәйкестік оларға күш береді. Алғашында кванттық өріс теориясы үшін жасалғанмен, диаграммалық техника көптеген басқа пертурбативтік қатарларға кеңінен қолданылады (бірақ әрқашан тиімді бола бермейді). 20-шы ғасырдың екінші жартысында хаос теориясы дамыған сайын, бұзылмаған жүйелердің қалыпты жағдайда толық интегралданатын жүйелер екені, ал бұзылған жүйелердің мұндай қасиетке ие еместігі анықталды. Бұл «жақын интегралданатын жүйелерді» зерттеуге әкелді, олардың KAM торы канондық мысалы болып табылады. Сонымен қатар, бұрын тек пертурбация теориясы арқылы ғана қолжетімді болған көптеген (өте ерекше) сызықтық емес жүйелердің шын мәнінде толық интегралданатыны анықталды. Бұл жаңалық өте маңызды болды, өйткені ол нақты шешімдерді табуға мүмкіндік берді. Бұл өз кезегінде пертурбативтік қатардың мағынасын түсінуге көмектесті, өйткені енді қатардың нәтижелерін нақты шешімдермен салыстыруға болады. Хаос теориясынан туындаған динамикалық жүйелерді жақсырақ түсіну «кіші бөлгіш» немесе «кіші бөлім» мәселесі деп аталатын мәселені түсінуге көмектесті. 19-шы ғасырда Пуанкаре (немесе одан бұрынғы математиктер) кейде пертурбативтік қатардағы 2-ші және одан жоғары реттік мүшелерде «кіші бөлімдер» болатынын байқады: яғни, олардың жалпы түрі мынадай болады және , мұнда және шешілетін мәселеге қатысты кейбір күрделі өрнектер, ал және нақты сандар; көбінесе олар қалыпты режимдердің энергиясы болып табылады. Кіші бөлім мәселесі айырмашылық кіші болған кезде туындайды, бұл пертурбативтік түзетутің «шегінен шығуына» және нөлдік реттік мүшеден үлкен немесе одан да үлкен болуына әкеледі. Бұл жағдай пертурбация теориясының бұзылуын көрсетеді: ол осы сәтте жұмыс істеуін тоқтатады және оны одан әрі кеңейтуге немесе қорытындылауға болмайды. Формальды түрде, пертурбативтік қатар асимптотикалық қатар болып табылады: бірнеше мүше үшін пайдалы жуықтау, бірақ одан да көп мүшелер қосылғанда белгілі бір сәтте дәлдігі төмендейді. Хаос теориясының жаңалығы осының себебін түсіндіру болды: кіші бөлімдер пертурбация теориясы хаостық жүйеге қолданылғанда пайда болады. Бірі екіншісінің болуын көрсетеді.

Perturbation theory was first devised to solve otherwise intractable problems in the calculation of the motions of planets in the solar system. For instance, Newton's law of universal gravitation explained the gravitation between two astronomical bodies, but when a third body is added, the problem was, "How does each body pull on each?" Kepler's orbital equations only solve Newton's gravitational equations when the latter are limited to just two bodies interacting. The gradually increasing accuracy of astronomical observations led to incremental demands in the accuracy of solutions to Newton's gravitational equations, which led many eminent 18th and 19th century mathematicians, notably Lagrange and Laplace, to extend and generalize the methods of perturbation theory. These well developed perturbation methods were adopted and adapted to solve new problems arising during the development of quantum mechanics in 20th century atomic and subatomic physics. Paul Dirac developed quantum perturbation theory in 1927 to evaluate when a particle would be emitted in radioactive elements. This was later named Fermi's golden rule. Perturbation theory in quantum mechanics is fairly accessible, mainly because quantum mechanics is limited to linear wave equations, but also since the quantum mechanical notation allows expressions to be written in fairly compact form, thus making them easier to comprehend. This resulted in an explosion of applications, ranging from the Zeeman effect to the hyperfine splitting in the hydrogen atom. Despite the simpler notation, perturbation theory applied to quantum field theory still easily gets out of hand. Richard Feynman developed the celebrated Feynman diagrams by observing that many terms repeat in a regular fashion. These terms can be replaced by dots, lines, squiggles and similar marks, each standing for a term, a denominator, an integral, and so on; thus complex integrals can be written as simple diagrams, with absolutely no ambiguity as to what they mean. The one to one correspondence between the diagrams, and specific integrals is what gives them their power. Although originally developed for quantum field theory, it turns out the diagrammatic technique is broadly applicable to many other perturbative series (although not always worthwhile). In the second half of the 20th century, as chaos theory developed, it became clear that unperturbed systems were in general completely integrable systems, while the perturbed systems were not. This promptly lead to the study of "nearly integrable systems", of which the KAM torus is the canonical example. At the same time, it was also discovered that many (rather special) non linear systems, which were previously approachable only through perturbation theory, are in fact completely integrable. This discovery was quite dramatic, as it allowed exact solutions to be given. This, in turn, helped clarify the meaning of the perturbative series, as one could now compare the results of the series to the exact solutions. The improved understanding of dynamical systems coming from chaos theory helped shed light on what was termed the small denominator problem or small divisor problem. In the 19th century Poincaré observed (as perhaps had earlier mathematicians) that sometimes 2nd and higher order terms in the perturbative series have "small denominators": That is, they have the general form where and are some complicated expressions pertinent to the problem to be solved, and and are real numbers; very often they are the energy of normal modes. The small divisor problem arises when the difference is small, causing the perturbative correction to "blow up", becoming as large or maybe larger than the zeroth order term. This situation signals a breakdown of perturbation theory: It stops working at this point, and cannot be expanded or summed any further. In formal terms, the perturbative series is an asymptotic series: A useful approximation for a few terms, but at some point becomes less accurate if even more terms are added. The breakthrough from chaos theory was an explanation of why this happened: The small divisors occur whenever perturbation theory is applied to a chaotic system. The one signals the presence of the other.

Планеталардың қозғалысын зерттеудің бастамасы

Планеталар бір-бірінен өте алыс болғандықтан және олардың массасы Күн массасына қарағанда аз болғандықтан, планеталар арасындағы гравитациялық күштерді ескермеуге болады, ал планеталық қозғалыс Кеплер орбиталары бойынша жүзеге асырылады деп қарастырылады, олар екі дене проблемасының теңдеулерімен анықталады, мұнда екі дене – планета және Күн. Астрономиялық деректердің жоғары дәлдікпен белгілі болғаннан кейін, планетаның Күнді айналу қозғалысына басқа планеталардың қалай әсер ететінін қарастыру қажет болды. Осылайша үш дене проблемасы пайда болды; Ай-Жер-Күн жүйесін зерттеуде Ай мен Жер арасындағы масса қатынасы "кіші параметр" ретінде таңдалды. Лагранж және Лаплас планетаның Күнді айналуын сипаттайтын "тұрақтылардың" бірте-бірте өзгеретінін алғашқылардың бірі болып айтты: олар басқа планеталардың қозғалысымен "бұзылады", яғни уақытқа байланысты өзгереді; сондықтан бұл "бұзылу теориясы" деп аталады. Бұл теория толық Гамильтонмен жұмыс істейді және ешқашан бұзылу операторын нақты анықтамайды. Мёллер-Плессет бұзылу теориясы Хартри-Фок Гамильтониясы мен нақты релятивистік емес Гамильтония арасындағы айырмашылықты бұзылу ретінде пайдаланады. Нөлдік энергия – орбиталық энергиялардың қосындысы. Бірінші реттік энергия – Хартри-Фок энергиясы, ал электрондық корреляция екінші немесе одан жоғары реттерде ескеріледі. Екінші, үшінші немесе төртінші реттік есептеулер өте кең таралған және код көбінесе кванттық химия бағдарламаларына енгізілген. Бұған ұқсас, бірақ дәл әдіс – біріктірілген кластерлік әдіс.

Қабықшамен өтетін

Бұзылу теориясында қабықша қиылысуы (sc) материя траекторияларының кесісуінен, сингулярлық туындағанда пайда болады. Бұл физикалық модельдеулердің кішкентай масштабтардағы болжамдық мүмкіндіктерін шектейді.