Введение

В информатике, грубое множество, впервые описанное польским ученым Здзиславом И. Павлаком, представляет собой формальное приближение четкого множества (то есть, обычного множества) посредством пары множеств, определяющих нижнее и верхнее приближения исходного множества. В стандартной версии теории грубых множеств (Pawlak 1991) нижнее и верхнее приближающие множества являются четкими множествами, однако в других вариантах приближающие множества могут быть нечеткими множествами.

Определения

В следующем разделе представлен обзор базовой структуры теории нечетких множеств, как она была первоначально предложена Здзиславом И. Павлаком, а также некоторые ключевые определения. Более формальные свойства и границы нечетких множеств можно найти в работе Павлака (1991) и в указанных ссылках. Изначальная и основная теория нечетких множеств иногда называется "нечеткие множества Павлака" или "классические нечеткие множества", чтобы отличать ее от более поздних расширений и обобщений.

Нижняя приближенность и положительная область

Нижнее приближение, или положительная область, представляет собой объединение всех классов эквивалентности, которые содержатся в (то есть являются подмножествами) целевом множестве – в примере, это объединение двух классов эквивалентности, содержащихся в целевом множестве. Нижнее приближение представляет собой полный набор объектов, которые могут быть положительно (то есть однозначно) классифицированы как принадлежащие целевому множеству.

Верхняя приближенность и отрицательная область

Верхнее приближение представляет собой объединение всех классов эквивалентности, имеющих непустое пересечение с целевым множеством – в примере, это объединение трех классов эквивалентности, которые имеют непустое пересечение с целевым множеством. Верхнее приближение представляет собой полный набор объектов, которые не могут быть положительно (т.е. однозначно) классифицированы как принадлежащие к дополнению целевого множества. Иными словами, верхнее приближение представляет собой полный набор объектов, которые потенциально являются членами целевого множества. Множество, таким образом, представляет собой отрицательную область, содержащую набор объектов, которые можно однозначно исключить из целевого множества.

Пограничная область

Пограничная область, заданная разностью множеств, состоит из тех объектов, которые нельзя ни однозначно отнести, ни однозначно исключить из целевого множества. В итоге, нижнее приближение целевого множества является консервативным приближением, состоящим только из тех объектов, которые можно положительно идентифицировать как принадлежащие множеству. (У этих объектов нет неразличимых "клонов", исключаемых целевым множеством.) Верхнее приближение – это либеральное приближение, включающее все объекты, которые потенциально могут быть членами целевого множества. (Некоторые объекты в верхнем приближении могут не принадлежать целевому множеству.) С точки зрения, нижнее приближение содержит объекты, которые с уверенностью являются членами целевого множества (вероятность = 1), в то время как верхнее приближение содержит объекты, которые являются членами целевого множества с ненулевой вероятностью (вероятность > 0).

Объективный анализ

Грубая теория множеств – один из множества методов, которые можно использовать для анализа неопределённых (включая нечёткие) систем, хотя и менее распространён, чем более традиционные методы теории вероятностей, статистики, энтропии и теории Dempster–Shafer. Однако ключевое отличие и уникальное преимущество использования классической грубой теории множеств заключается в том, что она предоставляет объективную форму анализа (Pawlak et al. 1995). В отличие от других методов, таких как перечисленные выше, классический анализ грубых множеств не требует дополнительной информации, внешних параметров, моделей, функций, градаций или субъективных интерпретаций для определения принадлежности к множеству – вместо этого он использует только информацию, содержащуюся в представленных данных (Düntsch and Gediga 1995). Более поздние адаптации грубой теории множеств, такие как основанные на доминировании, теории принятия решений и нечёткие грубые множества, внесли большую субъективность в анализ.

Определяемость

В общем случае, верхние и нижние приближения не равны; в таких случаях мы говорим, что целевое множество не определимо или приблизительно определимо на множестве атрибутов. Когда верхние и нижние приближения равны (то есть граница пуста), то целевое множество определимо на множестве атрибутов. Мы можем выделить следующие частные случаи неопределимости:

Множество является внутренне неопределимым, если и . Это означает, что на множестве атрибутов нет объектов, принадлежность которых к целевому множеству мы можем установить с уверенностью, но есть объекты, которые мы можем однозначно исключить из этого множества. Множество является внешне неопределимым, если и . Это означает, что на множестве атрибутов есть объекты, принадлежность которых к целевому множеству мы можем установить с уверенностью, но нет объектов, которые мы можем однозначно исключить из этого множества. Множество является полностью неопределимым, если и . Это означает, что на множестве атрибутов нет объектов, принадлежность которых к целевому множеству мы можем установить с уверенностью, и нет объектов, которые мы можем однозначно исключить из этого множества. Таким образом, на множестве атрибутов мы не можем определить, принадлежит ли какой-либо объект этому множеству или нет.

Зависимость от атрибутов

Одним из наиболее важных аспектов анализа баз данных или сбора данных является выявление зависимостей между атрибутами; то есть, мы хотим определить, какие переменные тесно связаны с другими переменными. Как правило, именно эти сильные связи заслуживают дальнейшего изучения и в конечном итоге будут полезны при построении прогностических моделей. В теории нечетких множеств понятие зависимости определяется очень просто. Возьмем два (непересекающихся) множества атрибутов, множество A и множество B, и выясним, какая степень зависимости существует между ними. Каждое множество атрибутов индуцирует структуру классов эквивалентности (неразличимости), классы эквивалентности, индуцированные A, задаются как [A], а классы эквивалентности, индуцированные B, как [B]. Пусть x – данный класс эквивалентности из структуры классов эквивалентности, индуцированной множеством атрибутов A. Тогда зависимость множества атрибутов B от множества атрибутов A, обозначаемая как B → A, определяется следующим образом:

То есть, для каждого класса эквивалентности x в [A], мы суммируем размер его нижнего приближения по атрибутам в B, то есть |x ∩ [B]|. Это приближение (как и выше, для произвольного множества) – это количество объектов, которые по множеству атрибутов A могут быть однозначно отнесены к целевому множеству. Суммируя по всем классам эквивалентности в [A], числитель выше представляет общее количество объектов, которые – на основе множества атрибутов A – могут быть однозначно классифицированы в соответствии с классификацией, индуцированной атрибутами B. Таким образом, коэффициент зависимости выражает пропорцию (во всей вселенной) таких классифицируемых объектов. Зависимость B → A может быть интерпретирована как доля объектов в информационной системе, для которых достаточно знать значения атрибутов в A, чтобы определить значения атрибутов в B. Другой, более интуитивный способ рассмотреть зависимость – принять разбиение, индуцированное A, в качестве целевого класса, а B – в качестве множества атрибутов, которые мы хотим использовать для "восстановления" целевого класса. Если B может полностью восстановить A, то B полностью зависит от A; если B приводит к плохому и, возможно, случайному восстановлению A, то B вообще не зависит от A. Таким образом, эта мера зависимости выражает степень функциональной (то есть детерминированной) зависимости множества атрибутов B от множества атрибутов A; она не является симметричной. Связь этого понятия зависимости атрибутов с более традиционными информационно-теоретическими (то есть энтропийными) понятиями зависимости атрибутов обсуждалась в ряде источников (например, Pawlak, Wong, & Ziarko 1988; Yao & Yao 2002; Wong, Ziarko, & Ye 1986, Quafafou & Boussouf 2000).

Извлечение правил

Представления категорий, обсуждаемые выше, все носят экстенсиональный характер; то есть категория или сложный класс – это просто совокупность всех его элементов. Следовательно, представление категории заключается лишь в возможности перечислить или идентифицировать все объекты, принадлежащие к этой категории. Однако экстенсиональные представления категорий имеют весьма ограниченную практическую ценность, поскольку они не дают возможности определить, принадлежат ли новые (ранее не встречавшиеся) объекты к данной категории. Обычно требуется интентциональное описание категории, представление категории, основанное на наборе правил, определяющих границы этой категории. Выбор таких правил не является однозначным, и именно в этом заключается проблема индуктивного смещения. Более подробную информацию об этой проблеме можно найти в разделах "Пространство версий" и "Выбор модели". Существует несколько методов извлечения правил. Мы начнем с процедуры извлечения правил, основанной на работе Ziarko & Shan (1995).

Неполные данные

Грубая теория множеств полезна для индукции правил из неполных наборов данных. Используя этот подход, можно выделить три типа пропущенных значений атрибутов: утерянные значения (значения, которые были записаны, но в данный момент недоступны), значения концепта атрибута (эти пропущенные значения атрибута могут быть заменены любым значением атрибута, ограниченным той же концепцией), и значения "не имеет значения" (исходные значения были несущественны). Концепт (класс) – это множество всех объектов, классифицированных (или диагностированных) одинаковым образом. Два специальных набора данных с пропущенными значениями атрибутов были подробно изучены: в первом случае все пропущенные значения атрибутов были утеряны (Stefanowski и Tsoukias, 2001), во втором случае все пропущенные значения атрибутов представляли собой значения "не имеет значения" (Kryszkiewicz, 1999). При интерпретации пропущенного значения атрибута как значения концепта атрибута, пропущенное значение атрибута может быть заменено любым значением области определения атрибута, ограниченным концептом, к которому принадлежит объект с пропущенным значением атрибута (Grzymala Busse и Grzymala Busse, 2007). Например, если для пациента отсутствует значение атрибута "Температура", этот пациент болен гриппом, а все остальные пациенты, больные гриппом, имеют значения "Температура" высокие или очень высокие, то при использовании интерпретации пропущенного значения атрибута как значения концепта атрибута, мы заменим пропущенное значение атрибута на "высокий" и "очень высокий". Кроме того, характеристическое отношение (см., например, Grzymala Busse и Grzymala Busse, 2007) позволяет обрабатывать наборы данных, содержащие все три типа пропущенных значений атрибутов одновременно: утерянные значения, значения "не имеет значения" и значения концепта атрибута.

Приложения

Методы нечетких множеств могут применяться как компонент гибридных решений в машинном обучении и интеллектуальном анализе данных. Они оказались особенно полезными для индукции правил и отбора признаков (сохраняющее семантику понижение размерности). Методы анализа данных, основанные на нечетких множествах, успешно применяются в биоинформатике, экономике и финансах, медицине, мультимедиа, веб- и текстовом анализе, обработке сигналов и изображений, разработке программного обеспечения, робототехнике и инженерии (например, в энергетических системах и управлении). В последнее время три области нечетких множеств интерпретируются как области принятия, отклонения и откладывания решения. Это приводит к подходу трехстороннего принятия решений с использованием модели, которая потенциально может привести к интересным будущим приложениям.

История

Идея нечеткого множества была предложена Павляком (1981) как новый математический инструмент для работы с нечеткими понятиями. Комер, Гржимала-Буссе, Ивински, Ниминен, Новотный, Павляк, Обтулович и Помыкала изучали алгебраические свойства нечетких множеств. Различные алгебраические семантики были разработаны П. Паглиани, И. Дантчем, М. К. Чакраборти, М. Банерджи и А. Мани; они были расширены до более обобщенных нечетких множеств, в частности, Д. Каттанео и А. Мани. Нечеткие множества могут использоваться для представления неоднозначности, расплывчатости и общей неопределенности.

Грубое членство

Грубые множества также могут быть определены как обобщение, используя грубую функцию принадлежности вместо объективного приближения. Грубая функция принадлежности выражает условную вероятность того, что элемент принадлежит множеству , учитывая информацию о . Это можно интерпретировать как степень принадлежности элемента к множеству , выраженную информацией о . Грубая функция принадлежности принципиально отличается от нечеткой функции принадлежности тем, что принадлежность объединения и пересечения множеств, как правило, не может быть вычислена на основе принадлежности составляющих множеств, в отличие от нечетких множеств. В этом смысле грубая функция принадлежности является обобщением нечеткой функции принадлежности. Более того, грубая функция принадлежности в большей степени основана на теории вероятностей, чем общепринятые концепции нечеткой функции принадлежности.