Кіріспе
Математикалық жиынның жуықтауы
Компьютерлік ғылымда, алғаш рет польшалық компьютер ғалымы Здислав И. Паулак сипаттаған, шамалы жиын – бұл нақты жиынның (яғни, дәстүрлі жиынның) төменгі және жоғарғы жуықтамаларын анықтайтын жиын жұбы арқылы берілген ресми жуықтауы. Шамалы жиын теориясының стандартты нұсқасында (Pawlak 1991) төменгі және жоғарғы жуықтама жиындары нақты жиындар болып табылады, бірақ басқа нұсқаларында жуықтама жиындары бұлыңғыр жиындар болуы мүмкін.
Анықтамалар
Келесі бөлімде Здислав И. Паулак бастапқыда ұсынған қатысты жиын теориясының негізгі құрылымына шолу жасалған, сонымен қатар оның маңызды анықтамалары келтірілген. Қатысты жиындардың формальды қасиеттері мен шекаралары Паулак (1991) және сілтемелерде таба аласыз. Қатысты жиын теориясының бастапқы және негізгі түрі кейде "Pawlak Rough Sets" немесе "классикалық қатысты жиындар" деп аталады, бұл оларды жақындағы кеңейтулер мен жалпыламалардан ажырату үшін қолданылады.
Төменгі шамалау және оң аймақ
Төменгі шамалау немесе оң аймақ – мақсатты жиынтыққа кіретін (яғни, мақсатты жиынтықтың ішкі жиындары болып табылатын) барлық эквиваленттілік сыныптардың бірігі. Мысалда, бұл мақсатты жиынтыққа кіретін екі эквиваленттілік сыныптың бірігі. Төменгі шамалау – мақсатты жиынтыққа оң (яғни, дәйекті) түрде жатқызылатын объектілердің толық жиынтығы.
Жоғарғы шамалау және теріс аймақ
Жоғарғы шамалау – мақсатты жиынмен бос емес қиылысы бар барлық эквиваленттілік кластарының біріктірілуі, мысалда, мақсатты жиынмен бос емес қиылысы бар үш эквиваленттілік класының біріктірілуі. Жоғарғы шамалау – бұл мақсатты жиынның толықтығына тиесілігін анық (бірмәнді) айтуға болмайтын объектілердің толық жиынтығы. Басқаша айтқанда, жоғарғы шамалау – мақсатты жиынның мүшелері болуы мүмкін объектілердің толық жиынтығы. Осылайша, жиын теріс аймақты көрсетеді, онда мақсатты жиынның мүшелері емес екені нақтылы түрде анықталатын объектілердің жиынтығы бар.
The set therefore represents the negative region, containing the set of objects that can be definitely ruled out as members of the target set.
Шекаралық аймақ
Шекаралық аймақ, жинақ айырмашылығы арқылы берілген, мақсатты жиынның мүшелері ретінде нақтылай алмайтын және жоққа шығара алмайтын объектілерден тұрады. Қорыта айтқанда, мақсатты жиынның төменгі жуықтауы – жиынның мүшелері ретінде сенімді анықталатын объектілерден ғана құралған консервативті жуықтау. (Бұл объектілердің мақсатты жиыннан шығарылған айқындалмайтын "көшірмелері" жоқ.) Жоғарғы жуықтау – мақсатты жиынның мүшелері болуы мүмкін барлық объектілерді қамтитын либералды жуықтау. (Жоғарғы жуықтаудағы кейбір объектілер мақсатты жиынның мүшелері болмауы мүмкін.) перспективасынан қарағанда, төменгі жуықтау мақсатты жиынның мүшелері екеніне сенімді объектілерді қамтиды (ықтималдығы = 1), ал жоғарғы жуықтау мақсатты жиынның мүшелері болуы мүмкін объектілерді қамтиды (ықтималдығы > 0).
In summary, the lower approximation of a target set is a conservative approximation consisting of only those objects which can positively be identified as members of the set. (These objects have no indiscernible "clones" which are excluded by the target set.) The upper approximation is a liberal approximation which includes all objects that might be members of target set. (Some objects in the upper approximation may not be members of the target set.) From the perspective of , the lower approximation contains objects that are members of the target set with certainty (probability = 1), while the upper approximation contains objects that are members of the target set with non zero probability (probability > 0).
Объективті талдау
Дөңгелек жиын теориясы – бұл белгісіз (соның ішінде шамалы) жүйелерді талдауға қолданылатын көптеген әдістердің бірі, бірақ ол ықтималдық, статистика, энтропия және Демпстер-Шафер теориясы сияқты дәстүрлі әдістерге қарағанда аз таралған. Дегенмен, классикалық дөңгелек жиын теориясын қолданудың маңызды айырмашылығы және ерекше артықшылығы – ол талдаудың объективті түрін ұсынады (Pawlak et al. 1995 ж.). Жоғарыда аталған басқа әдістерден өзгеше, классикалық дөңгелек жиын талдауына жиынға жататындығын анықтау үшін қосымша ақпарат, сыртқы параметрлер, модельдер, функциялар, санаттар немесе субъективті түсіндірулер қажет емес – ол тек берілген деректерде ұсынылған ақпаратты пайдаланады (Düntsch and Gediga 1995 ж.). Дөңгелек жиын теориясының жақындағы жаңартпалары, мысалы, үстемдікке негізделген, шешімдік теориялық және бұлыңғыр дөңгелек жиындар, талдауға көбірек субъективтілік енгізді.
Анықтамалануы
Жалпы, жоғарғы және төменгі шамалаулар тең емес; мұндай жағдайларда мақсатты жиынтық анықталмаған немесе атрибуттар жиынтығы бойынша шамамен анықталатын болады. Жоғарғы және төменгі шамалаулар тең болғанда (яғни, шекарасы бос болса), мақсатты жиынтық атрибуттар жиынтығы бойынша анықталады. Анықталмаушылықтың келесі ерекше жағдайларын ажыратуға болады:
Set is internally undefinable if and This means that on attribute set , there are no objects which we can be certain belong to target set , but there are objects which we can definitively exclude from set Set is externally undefinable if and This means that on attribute set , there are objects which we can be certain belong to target set , but there are no objects which we can definitively exclude from set Set is totally undefinable if and This means that on attribute set , there are no objects which we can be certain belong to target set , and there are no objects which we can definitively exclude from set Thus, on attribute set , we cannot decide whether any object is, or is not, a member of .
Егер және болса, жиынтық іштен анықталмаған болады. Бұл атрибуттар жиынтығында мақсатты жиынтыққа жататынына сенімді бола алатын ешқандай объекті жоқ, бірақ жиынтықтан нақты алып тастауға болатын объектілер бар екенін білдіреді.
Set is internally undefinable if and This means that on attribute set , there are no objects which we can be certain belong to target set , but there are objects which we can definitively exclude from set Set is externally undefinable if and This means that on attribute set , there are objects which we can be certain belong to target set , but there are no objects which we can definitively exclude from set Set is totally undefinable if and This means that on attribute set , there are no objects which we can be certain belong to target set , and there are no objects which we can definitively exclude from set Thus, on attribute set , we cannot decide whether any object is, or is not, a member of .
Егер және болса, жиынтық сырттан анықталмаған болады. Бұл атрибуттар жиынтығында мақсатты жиынтыққа жататынына сенімді бола алатын объектілер бар, бірақ жиынтықтан нақты алып тастауға болатын ешқандай объекті жоқ екенін білдіреді.
Set is internally undefinable if and This means that on attribute set , there are no objects which we can be certain belong to target set , but there are objects which we can definitively exclude from set Set is externally undefinable if and This means that on attribute set , there are objects which we can be certain belong to target set , but there are no objects which we can definitively exclude from set Set is totally undefinable if and This means that on attribute set , there are no objects which we can be certain belong to target set , and there are no objects which we can definitively exclude from set Thus, on attribute set , we cannot decide whether any object is, or is not, a member of .
Егер және болса, жиынтық толығымен анықталмаған болады. Бұл атрибуттар жиынтығында мақсатты жиынтыққа жататынына сенімді бола алатын ешқандай объекті жоқ, сондай-ақ жиынтықтан нақты алып тастауға болатын ешқандай объекті жоқ екенін білдіреді. Осылайша, атрибуттар жиынтығы бойынша, кез келген объектінің жиынтыққа жататынына немесе жатпайтынына шешім қабылдау мүмкін емес.
Set is internally undefinable if and This means that on attribute set , there are no objects which we can be certain belong to target set , but there are objects which we can definitively exclude from set Set is externally undefinable if and This means that on attribute set , there are objects which we can be certain belong to target set , but there are no objects which we can definitively exclude from set Set is totally undefinable if and This means that on attribute set , there are no objects which we can be certain belong to target set , and there are no objects which we can definitively exclude from set Thus, on attribute set , we cannot decide whether any object is, or is not, a member of .
Атрибут тәуелділігі
Деректер базасын талдаудың немесе деректерді алудың ең маңызды аспектілерінің бірі – атрибуттардың тәуелділіктерін анықтау болып табылады; яғни, қандай айнымалылардың басқа айнымалылармен күшті байланыста екенін білуге тырысамыз. Әдетте, осы күшті қарым-қатынастар одан әрі зерттеуді қажет етеді және ақырында болжамдық модельдеуде қолданылады. Жинақтық теорияда тәуелділік ұғымы өте қарапайым түрде беріледі. Екі (қиылыспайтын) атрибут жиынтығын қарастырайық, жиынтық және жиынтық , және олардың арасындағы тәуелділіктің қандай дәрежеде екенін анықтауға тырысайық. Әрбір атрибут жиынтығы (ажыратылмаушылық) эквиваленттілік кластары құрылымын тудырады, жиынтығынан туындаған эквиваленттілік кластары және жиынтығынан туындаған эквиваленттілік кластары. Егер , онда – атрибут жиынтығынан туындаған эквиваленттілік кластары құрылымынан алынған берілген эквиваленттілік классы. Содан кейін, атрибут жиынтығына қатысты атрибут жиынтығының тәуелділігі , келесідей беріледі:
Let , where is a given equivalence class from the equivalence class structure induced by attribute set Then, the dependency of attribute set on attribute set , , is given by
Яғни, әрбір эквиваленттілік классы үшін , біз оның атрибуттар бойынша төменгі апроксимациясының мөлшерін қосамыз, яғни . Бұл апроксимация (жоғарыда айтылғандай, кез келген жиын үшін) – атрибут жиынтығында мақсатты жиынға жататыны анықталған объектілердің саны. Барлық эквиваленттілік кластары бойынша қосылғанда, жоғарыдағы сандар – атрибут жиынтығына сүйенген объектілердің жалпы санын көрсетеді, олар атрибуттармен шақырылған жіктеуге сәйкес оң жағынан жіктеледі. Сондықтан тәуелділік коэффициенті – бүкіл әлемдегі осындай жіктелетін объектілердің үлесін білдіреді. Тәуелділікті "ақпараттық жүйедегі осындай объектілердің үлесі ретінде қарастыруға болады, олар үшін атрибуттардың мәндерін білу жеткілікті". Тәуелділікті қарастырудың тағы бір интуитивті жолы – мақсатты класс ретінде және мақсатты класты "қайта құру" үшін пайдалануға ниеттенген атрибут жиынтығы ретінде қарастыру. Егер толығымен қайта құрса, онда ол толығымен тәуелді; егер нашар және мүмкін кездейсоқ қайта құруға әкелсе, онда мүлдем тәуелді емес. Осылайша, тәуелділіктің бұл өлшемі атрибут жиынтығының атрибут жиынтығына функционалдық (яғни детерминистік) тәуелділігінің дәрежесін көрсетеді; ол симметриялық емес. Атрибут тәуелділігі туралы бұл ұғымның дәстүрлі ақпараттық-теориялық (яғни энтропиялық) атрибут тәуелділігі туралы ұғымдармен байланысы бірқатар зерттеулерде талқыланды (мысалы, Pawlak, Wong, & Ziarko 1988; Yao & Yao 2002; Wong, Ziarko, & Ye 1986, Quafafou & Boussouf 2000).
Ережелерді шығару
Жоғарыда талқыланған санатты бейнелеулердің барлығы кеңейтілген сипатқа ие; яғни, санат немесе күрделі класс – оның барлық мүшелерінің қосындысы. Демек, санатты бейнелеу – бұл сол санатқа жататын барлық объектілерді тізімдеу немесе анықтау. Алайда, кеңейтілген санатты бейнелеулердің практикалық пайдасы шектеулі, себебі олар жаңа (бұрын көрмеген) объектілердің санатқа жататынын анықтауға көмектеспейді. Көбінесе, санаттың мақсатты сипаттамасы қажет, яғни санаттың шегін анықтайтын ережелер жиынтығына негізделген бейнелеу. Мұндай ережелерді таңдау бірегей емес, және осы мәселе индуктивті бейімділік деп аталады. Бұл мәселе туралы толық ақпаратты «Нұсқа кеңістігі» және «Модельді таңдау» бөлімдерінде қараңыз. Бірнеше ережелерді шығару әдістері бар. Біз Зиарко және Шан (1995) жұмысына негізделген ережелерді шығару процедурасынан бастаймыз.
Толық емес деректер
Деректердің толық еместігінен ережелерді индукциялау үшін шамамен жиын теориясы пайдалы. Осы тәсілді қолдану арқылы, жоғалған атрибут мәндерінің үш түрін ажырата аламыз: жоғалған мәндер (тіркелген, бірақ қазір қолжетімді емес мәндер), атрибут тұжырымдамасының мәндері (осы жоғалған атрибут мәндері сол тұжырымдамамен шектелген кез келген атрибут мәнімен алмастырылуы мүмкін) және "маңызды емес" жағдайлары (алғашқы мәндер маңызды болмаған). Тұжырымдама (сынып) – бірдей жіктелетін (немесе диагностикаланатын) барлық объектілердің жиынтығы. Атрибут мәндері жоқ екі арнайы деректер жиынтығы жан-жақты зерттелді: бірінші жағдайда барлық жоғалған атрибут мәндері жоғалды (Stefanowski and Tsoukias, 2001), екінші жағдайда барлық жоғалған атрибут мәндері "маңызды емес" жағдайлар болды (Kryszkiewicz, 1999). Атрибут тұжырымдамасының мәндері түсіндірілімінде, жоғалған атрибут мәнін жоғалған атрибут мәні бар объектіге жататын тұжырымдамамен шектелген атрибут доменінің кез келген мәнімен алмастыруға болады (Grzymala Busse және Grzymala Busse, 2007). Мысалы, егер пациенттің Температура атрибутының мәні жоқ болса, бұл пациент тұмаумен ауырады және қалған барлық тұмаумен ауыратын пациенттердің Температурасы жоғары немесе өте жоғары болады. Атрибут тұжырымдамасының мәні ретінде жоғалған атрибут мәнін түсіндіруді қолданғанда, біз жоғалған атрибут мәнін жоғары және өте жоғарымен алмастырамыз. Сонымен қатар, сипаттамалық қатынас (мысалы, Grzymala Busse және Grzymala Busse, 2007 қараңыз) жоғалған, "маңызды емес" жағдайлар және атрибут тұжырымдамалық мәндері бар деректер жиынтығын бір уақытта өңдеуге мүмкіндік береді.
Қолданбалар
Қиын жиынтықтарды есептеу әдістері машиналық оқыту және деректерді өңдеудегі гибридтік шешімдердің құрамдас бөлігі ретінде қолданылуы мүмкін. Олар ережелерді шығару және белгілерді таңдау (семантиканы сақтайтын өлшемділікті азайту) үшін ерекше пайдалы болып табылды. Қиын жиынтықтарға негізделген деректерді талдау әдістері биоинформатика, экономика және қаржы, медицина, мультимедиа, веб және мәтін өңдеу, сигналдар мен кескіндерді өңдеу, бағдарламалық жасақтама инженериясы, робототехника және инженерия (мысалы, қуат жүйелері және басқару инженериясы) салаларында сәтті қолданылды. Жақында қиын жиынтықтың үш аймағы қабылдау, қабылдамау және шешімді кейінге қалдыру аймақтары ретінде түсіндіріледі. Бұл модельмен үш жолды шешім қабылдау тәсіліне алып келеді, бұл болашақта қызықты қолданыстарға жол ашуы мүмкін.
Тарих
Дөрекі жиынтық идеясын Паулак (1981) тұманды ұғымдармен жұмыс істеуге арналған жаңа математикалық құрал ретінде ұсынды. Комер, Гржимала-Буссе, Ивински, Нийменен, Новотный, Паулак, Обтулович және Помыкала дөрекі жиынтықтардың алгебралық қасиеттерін зерттеді. П. Паглиани, И. Дантч, М.К. Чакраборти, М. Банерджи және А. Мани әртүрлі алгебралық семантиканы әзірледі; бұл Д. Каттанео және А. Мани еңбектерінде, атап айтқанда, одан да жалпыланған дөрекі жиынтықтарға дейін кеңейтілді. Дөрекі жиынтықтар екіұштылықты, тұмандылықты және жалпы белгісіздікті бейнелеу үшін қолданылуы мүмкін.
Қатысушылық
Шамалы жиынтықтарды объективті шамалаудың орнына шамалы мүшелік функциясын қолдану арқылы да жалпылау ретінде анықтауға болады. Шамалы мүшелік функциясы, берілген жағдайда жиынға тиесілілігінің шартты ықтималдығын көрсетеді. Бұл, берілген жағдай бойынша жиынға тиесілілігінің дәрежесі ретінде түсіндіріледі. Шамалы мүшелік, негізінен, тұманды мүшеліктен одақтың және қиылыстың мүшелігін, жалпы жағдайда, оның құраушы мүшеліктерінен есептеу мүмкін болмайтындығымен ерекшеленеді – бұл тұманды жиынтықтарда мүмкін. Осылайша, шамалы мүшелік тұманды мүшеліктің жалпылауы болып табылады. Сонымен қатар, шамалы мүшелік функциясы, тұманды мүшелік функциясының дәстүрлі түсініктеріне қарағанда, ықтималдыққа көбірек негізделген.
Rough membership primarily differs from the fuzzy membership in that the membership of union and intersection of sets cannot, in general, be computed from their constituent membership as is the case of fuzzy sets. In this, rough membership is a generalization of fuzzy membership. Furthermore, the rough membership function is grounded more in probability than the conventionally held concepts of the fuzzy membership function.