Введение

Метод Мюллера — это алгоритм поиска корней, численный метод решения уравнений вида f(x) = 0. Он был впервые представлен Дэвидом Э. Мюллером в 1956 году. Метод Мюллера основан на методе секущих, который на каждой итерации строит прямую, проходящую через две точки на графике функции f. Вместо этого метод Мюллера использует три точки, строит параболу, проходящую через эти три точки, и принимает точку пересечения оси x с параболой в качестве следующего приближения.

Обобщения и связанные с ними методы

Метод Мюллера подгоняет параболу, то есть многочлен второго порядка, к последним трем полученным точкам f(xk-1), f(xk-2) и f(xk-3) на каждой итерации. Можно обобщить этот подход и подгонять многочлен pk,m(x) степени m к последним m+1 точкам на k-й итерации. Наша парабола yk в этой нотации записывается как pk,2. Степень m должна быть 1 или больше. Следующее приближение xk теперь является одним из корней pk,m, то есть одним из решений уравнения pk,m(x) = 0. При m=1 мы получаем метод секущих, а при m=2 – метод Мюллера. Мюллер показал, что последовательность {xk}, полученная таким образом, сходится к корню ξ с порядком μm, где μm – положительное решение соответствующего уравнения. Однако для m>2 метод значительно сложнее, чем для m=1 или m=2, поскольку гораздо труднее определить корни многочлена степени 3 или выше. Другая проблема заключается в отсутствии четкого правила выбора корня pk,m в качестве следующего приближения xk при m>2. Эти трудности преодолеваются обобщенным методом Сиди, который также использует многочлен pk,m. Вместо попытки решить уравнение pk,m(x) = 0, следующее приближение xk вычисляется с использованием производной pk,m в точке xk-1 в этом методе.