Кіріспе
Мюллер әдісі – түбір табу алгоритмі, f(x) = 0 түріндегі теңдеулерді шешуге арналған сандық әдіс. Оны алғаш рет 1956 жылы Дэвид Э. Мюллер ұсынған. Мюллер әдісі секант әдісіне негізделген, ол әр итерацияда f графигіндегі екі нүкте арқылы түзу сызады. Ал Мюллер әдісі үш нүкте қолданып, осы үш нүкте арқылы парабола салады және x ось пен параболаның қиылыс нүктесін келесі жуықтау ретінде қабылдайды.
Жалпылау және оған байланысты әдістер
Мюллер әдісі параболаға, яғни екінші дәрежелі полиномиалға, әрбір итерацияда f(xk-1), f(xk-2) және f(xk-3) соңғы үш алынған нүктеге сәйкес келеді. Мұны жалпылап, m дәрежелі pk,m(x) көпмүшесін k-шы итерациядағы соңғы m+1 нүктеге сәйкес келтіруге болады. Біздің yk параболасы осы нотацияда pk,2 деп жазылады. Дәрежесі m 1-ден үлкен немесе оған тең болуы керек. Келесі xk жуықтамасы енді pk,m көпмүшесінің түбірлерінің бірі, яғни pk,m(x) = 0 теңдеуінің шешімдерінің бірі. m=1 деп есептегенде секант әдісін, ал m=2 деп есептегенде Мюллер әдісін аламыз. Мюллер {xk} осылайша құрылған тізбектің ξ түбіріне μm ретімен жақындайтынын есептеді, мұнда μm – оң шешім. m>2 үшін m=1 немесе m=2 үшін қарағанда бұл әдіс әлдеқайда қиын, өйткені 3-ші немесе одан жоғары дәрежелі көпмүшелердің түбірлерін анықтау әлдеқайда қиын. Тағы бір мәселе – pk,m көпмүшесінің қай түбірін келесі жуықтама ретінде таңдау керектігін анықтау қиын. Бұл қиындықтар Сидидің жалпыланған секант әдісімен шешіледі, ол pk,m полиномын да қолданады. pk,m(x) = 0 теңдеуін шешудің орнына, осы әдісте келесі xk жуықтамасы pk,m-нің xk-1 нүктесіндегі туындысын пайдаланып есептеледі.
The method is much more difficult though for m>2 than it is for m=1 or m=2 because it is much harder to determine the roots of a polynomial of degree 3 or higher. Another problem is that there seems no prescription of which of the roots of pk,m to pick as the next approximation xk for m>2. These difficulties are overcome by Sidi's generalized secant method which also employs the polynomial pk,m. Instead of trying to solve pk,m(x)=0, the next approximation xk is calculated with the aid of the derivative of pk,m at xk 1 in this method.