Введение
В теории полугрупп, обратная полугруппа (иногда называемая инверсионной полугруппой) S – это полугруппа, в которой для каждого элемента x из S существует единственная обратная y в S, такая что xyx = x и yxy = y, то есть регулярная полугруппа, в которой каждый элемент имеет единственную обратную. Обратные полугруппы возникают в различных областях; например, они могут применяться при изучении частных симметрий. (В данной статье принята конвенция записи функции справа от её аргумента, например, x f вместо f(x), и композиции функций слева направо – конвенция, часто используемая в теории полугрупп.)
composing functions from left to right—a convention often observed in semigroup theory.)
Происхождение
Обратные полугруппы были введены независимо друг от друга Виктором Владимировичем Вагнером в Советском Союзе в 1952 году и Гордоном Престоном в Великобритании в 1954 году. Оба автора пришли к обратным полугруппам, изучая частичные биекции множества: частичное преобразование α множества X — это функция из A в B, где A и B являются подмножествами X. Пусть α и β — частичные преобразования множества X; α и β могут быть композиционно соединены (слева направо) на наибольшей области, где их соединение определено: где α⁻¹ обозначает прообраз под α. Частичные преобразования уже изучались в контексте псевдогрупп. Однако именно Вагнер первым заметил, что композиция частичных преобразований является частным случаем композиции бинарных отношений. Он также заметил, что область определения композиции двух частичных преобразований может быть пустым множеством, поэтому он ввел пустое преобразование для учета этой возможности. С добавлением этого пустого преобразования композиция частичных преобразований множества становится повсеместно определенной ассоциативной бинарной операцией. При такой композиции множество всех частичных взаимно однозначных преобразований множества X образует обратную полугруппу, называемую симметричной обратной полугруппой (или моноидом) на X, с обратным элементом, определяемым как функциональное обратное, заданное из области значений в область определения (эквивалентно, обратная функция). Это "архетипическая" обратная полугруппа, подобно тому, как симметричная группа является архетипической группой. Например, так же, как любая группа может быть вложена в симметричную группу, любая обратная полугруппа может быть вложена в симметричную обратную полугруппу (см. ниже).
where α−1 denotes the preimage under α. Partial transformations had already been studied in the context of pseudogroups. It was Wagner, however, who was the first to observe that the composition of partial transformations is a special case of the composition of binary relations. He recognised also that the domain of composition of two partial transformations may be the empty set, so he introduced an empty transformation to take account of this. With the addition of this empty transformation, the composition of partial transformations of a set becomes an everywhere defined associative binary operation. Under this composition, the collection of all partial one one transformations of a set X forms an inverse semigroup, called the symmetric inverse semigroup (or monoid) on X, with inverse the functional inverse defined from image to domain (equivalently, the converse relation). This is the "archetypal" inverse semigroup, in the same way that a symmetric group is the archetypal group. For example, just as every group can be embedded in a symmetric group, every inverse semigroup can be embedded in a symmetric inverse semigroup (see below).
F-обратные полугруппы
Иноверсная полугруппа называется F-инверсной, если для каждого элемента существует единственный максимальный элемент над ним в естественном частичном порядке, то есть каждый σ-класс имеет максимальный элемент. Каждая F-инверсная полугруппа является E-унитарным моноидом. Теорема о покрытии МакАлистера была усовершенствована М. В. Лоусоном следующим образом:
Теорема. Каждая иноверсная полугруппа имеет F-инверсное покрытие. Теорема P МакАлистера также использовалась для характеризации F-инверсных полугрупп. Тройка МакАлистера является F-инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда является главным идеалом, а является полурешеткой.
Свободные инверсные полугруппы
Конструкция, аналогичная свободной группе, возможна и для обратных полугрупп. Представление свободной обратной полугруппы на множестве X можно получить, рассматривая свободную полугруппу с инволюцией, где инволюцией является взятие обратного элемента, а затем переходя к фактор-полугруппе по конгруентности Вагнера.
Задача о слове для свободных обратных полугрупп значительно сложнее, чем для свободных групп. Известный результат в этой области, полученный У. Д. Манном, показывает, что элементы свободной обратной полугруппы можно естественным образом рассматривать как деревья, известные как деревья Манна. Умножение в свободной обратной полугруппе имеет соответствие на деревьях Манна, которое по сути заключается в перекрытии общих частей этих деревьев. (см. Lawson 1998 для получения более подробной информации).
Любая свободная обратная полугруппа является F-инверсной. Более точно, обратная полугруппа – это группоид в категории частично упорядоченных множеств, являющийся этальным группоидом относительно своей (двойной) топологии Александрова, а множество объектов которого является полурешеткой пересечений.
Обратная категория
Это понятие обратного также легко обобщается на категории. Инверсная категория – это категория, в которой для каждого морфизма f : X → Y существует обобщенный обратный морфизм g : Y → X, такой что 1=fgf = f и 1=gfg = g. Инверсная категория является самодвойственной. Категория множеств и частичных биекций служит основным примером. Инверсные категории нашли разнообразные применения в теоретической информатике.