Кіріспе
Топтар теориясында, кері жарты топ (кейде инверсиялық жарты топ деп аталады) S – бұл жарты топ, онда S-дегі әрбір x элементінің бірегей y керісі болады, яғни 1=x = xyx және 1=y = yxy, демек, әрбір элементінің бірегей керісі бар реттелген жарты топ. Кері жарты топтар түрлі контексттерде кездеседі; мысалы, оларды ішінара симметрияларды зерттеуде қолдануға болады. (Осы мақалада функцияны оның аргументінен оң жағына жазу дәстүрі қабылданады, мысалы, x f, f(x) емес, және функцияларды солдан оңға қарай құрастыру – жарты топтар теориясында жиі сақталатын дәстүр.)
composing functions from left to right—a convention often observed in semigroup theory.)
Шығу тегі
Кері жартылай топтарды 1952 жылы Кеңес Одағында Виктор Владимирович Вагнер, ал 1954 жылы Ұлыбританияда Гордон Престон тәуелсіз түрде енгізді. Екі автор да жиынның ішінара биекциясын зерттеу арқылы кері жартылай топтарға келді: X жиынының ішінара түрленуі α – A-дан B-ге дейінгі функция, мұнда A және B – X жиынының ішкі жиындары. α және β – X жиынының ішінара түрленулері болсын; α және β оларды құрастыруға «мағынасы бар» ең үлкен доменде (солдан оңға қарай) құрастырылуы мүмкін: мұнда α⁻¹ – α астындағы кері бейнелеуді білдіреді. Ішінара түрленулер псевдогруппалар контекстінде зерттелген. Алайда, Вагнер бірінші болып, ішінара түрленулердің құрамы – бинарлық қатынастардың құрамының ерекше жағдайы екенін байқады. Ол сондай-ақ екі ішінара түрленудің құрамының домені бос жиын болуы мүмкін екенін мойындады, сондықтан ол мұны ескеру үшін бос түрлендіруді енгізді. Осы бос түрлендіруді қосу арқылы жиынның ішінара түрленулерінің құрамы әрқашан анықталған ассоциативтік екілік операцияға айналады. Осы құрастыру бойынша, X жиынының барлық бір-бірге түрлендірулерінің жиынтығы X-те симметриялық кері жартылай топты (немесе моноидті) құрайды, оның керісі – бейнелеуден доменге дейін анықталған функционалдық кері (әйтпесе, кері қатынас). Бұл – «архетиптік» кері жартылай топ, симметриялық топтың архетиптік топқа ұқсас. Мысалы, әрбір топ симметриялық топқа енгізіле алатындай, әрбір кері жартылай топ симметриялық кері жартылай топқа енгізілуі мүмкін (төменде қараңыз).
where α−1 denotes the preimage under α. Partial transformations had already been studied in the context of pseudogroups. It was Wagner, however, who was the first to observe that the composition of partial transformations is a special case of the composition of binary relations. He recognised also that the domain of composition of two partial transformations may be the empty set, so he introduced an empty transformation to take account of this. With the addition of this empty transformation, the composition of partial transformations of a set becomes an everywhere defined associative binary operation. Under this composition, the collection of all partial one one transformations of a set X forms an inverse semigroup, called the symmetric inverse semigroup (or monoid) on X, with inverse the functional inverse defined from image to domain (equivalently, the converse relation). This is the "archetypal" inverse semigroup, in the same way that a symmetric group is the archetypal group. For example, just as every group can be embedded in a symmetric group, every inverse semigroup can be embedded in a symmetric inverse semigroup (see below).
F- кері жартылай топтар
Кері жартылай топ, егер әрбір элементтің жоғарысында табиғи бөлшектік ретте бірегей максималды элемент болса, F-инверсті деп аталады, яғни әрбір σ-кластың максималды элементі болады. Кез келген F-инверсті жартылай топ – E-бірлік моноид. МакАлистердің жабу теоремасын М.В. Лоусон былай жетілдірді:
Теорема. Кез келген кері жартылай топтың F-инверсті жабыны бар. МакАлистердің P теоремасы да F-инверсті жартылай топтарды сипаттау үшін қолданылды. МакАлистерлік үштік, егер және тек қана егер -тың негізгі идеалы болса және жартылай тор болса, F-инверсті жартылай топ болады.
Еркін кері жартылай топтар
Кері жартылай топтар үшін еркін топқа ұқсас құрылым мүмкін. X жиынындағы еркін кері жартылай топтың презентациясын инволюциясы бар еркін жартылай топты қарастыру арқылы алуға болады, мұнда инволюция – инверсті алу, ал содан кейін Вагнер конгруэнтісі бойынша бөлу жасалады. Еркін кері жартылай топтар үшін сөз мәселесі еркін топтарға қарағанда әлдеқайда күрделі. Осы саладағы белгілі нәтиже В. Д. Муннның еркін кері жартылай топтың элементтерін табиғи түрде ағаштар ретінде қарастыруға болатынын көрсетті, олар Мунн ағаштары деп аталады. Еркін кері жартылай топтағы көбейту Мунн ағаштарында сәйкес келетін амалға ие, ол негізінен ағаштардың ортақ бөліктерін біріктіруден тұрады. (Толық мәліметтер үшін Lawson 1998-ге қараңыз) Кез келген еркін кері жартылай топ F-кері болып табылады. Нақтырақ айтқанда, кері жартылай топ – бұл позиеттер санатындағы группоид, ол өзінің (қос) Александров топологиясына қатысты этальді группоид және оның объектілер позиеті – кездесетін жартылай тор.
The word problem for free inverse semigroups is much more intricate than that of free groups. A celebrated result in this area due to W. D. Munn who showed that elements of the free inverse semigroup can be naturally regarded as trees, known as Munn trees. Multiplication in the free inverse semigroup has a correspondent on Munn trees, which essentially consists of overlapping common portions of the trees. (see Lawson 1998 for further details)
Any free inverse semigroup is F inverse. More precisely, an inverse semigroup is precisely a groupoid in the category of posets that is an étale groupoid with respect to its (dual) Alexandrov topology and whose poset of objects is a meet semilattice.
Кері санаты
Бұл кері ұғымы санаттарға да оңай жалпыланады. Кері категория – әрбір f: X → Y морфизмі үшін g: Y → X жалпы керісі бар, мұнда 1=fgf = f және 1=gfg = g. Кері категория өз-өзіне жұптас. Жинақтар мен ішінара тепе-теңдіктер санаты – басты мысал. Кері категориялар теориялық информатикада түрлі қолданыстар тапқан.