Числа Табита и обобщения

Введение

Целое число вида 3 · 2ⁿ + 1 для неотрицательного n.

В теории чисел число Тхабита, число Тхабита ибн Куры или число 321 — это целое число вида 3 · 2ⁿ + 1 для неотрицательного целого числа n.

Первые несколько чисел Тхабита:

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863.

Математик, врач, астроном и переводчик IX века Тхабит ибн Кура считается первым, кто изучал эти числа и их связь с дружественными числами.

Обобщение

Для целого числа b ≥ 2, число Тэбита с основанием b является числом вида (b+1)·bn − 1 для неотрицательного целого числа n. Также для целого числа b ≥ 2, число Тэбита второго рода с основанием b является числом вида (b+1)·bn + 1 для неотрицательного целого числа n. Числа Уильямса также являются обобщением чисел Тэбита. Для целого числа b ≥ 2, число Уильямса с основанием b – это число вида (b−1)·bn − 1 для неотрицательного целого числа n. Также для целого числа b ≥ 2, число Уильямса второго рода с основанием b – это число вида (b−1)·bn + 1 для неотрицательного целого числа n.

For integer b ≥ 2, a Thabit number base b is a number of the form (b+1)·bn − 1 for a non negative integer n. Also, for integer b ≥ 2, a Thabit number of the second kind base b is a number of the form (b+1)·bn + 1 for a non negative integer n.

The Williams numbers are also a generalization of Thabit numbers. For integer b ≥ 2, a Williams number base b is a number of the form (b−1)·bn − 1 for a non negative integer n. Also, for integer b ≥ 2, a Williams number of the second kind base b is a number of the form (b−1)·bn + 1 for a non negative integer n.

For integer b ≥ 2, a Thabit prime base b is a Thabit number base b that is also prime. Similarly, for integer b ≥ 2, a Williams prime base b is a Williams number base b that is also prime. Every prime p is a Thabit prime of the first kind base p, a Williams prime of the first kind base p+2, and a Williams prime of the second kind base p; if p ≥ 5, then p is also a Thabit prime of the second kind base p−2. It is a conjecture that for every integer b ≥ 2, there are infinitely many Thabit primes of the first kind base b, infinitely many Williams primes of the first kind base b, and infinitely many Williams primes of the second kind base b; also, for every integer b ≥ 2 that is not congruent to 1 modulo 3, there are infinitely many Thabit primes of the second kind base b. (If the base b is congruent to 1 modulo 3, then all Thabit numbers of the second kind base b are divisible by 3 (and greater than 3, since b ≥ 2), so there are no Thabit primes of the second kind base b.) The exponent of Thabit primes of the second kind cannot congruent to 1 mod 3 (except 1 itself), the exponent of Williams primes of the first kind cannot congruent to 4 mod 6, and the exponent of Williams primes of the second kind cannot congruent to 1 mod 6 (except 1 itself), since the corresponding polynomial to b is a reducible polynomial. (If n ≡ 1 mod 3, then (b+1)·bn + 1 is divisible by b2 + b + 1; if n ≡ 4 mod 6, then (b−1)·bn − 1 is divisible by b2 − b + 1; and if n ≡ 1 mod 6, then (b−1)·bn + 1 is divisible by b2 − b + 1) Otherwise, the corresponding polynomial to b is an irreducible polynomial, so if Bunyakovsky conjecture is true, then there are infinitely many bases b such that the corresponding number (for fixed exponent n satisfying the condition) is prime. ((b+1)·bn − 1 is irreducible for all nonnegative integer n, so if Bunyakovsky conjecture is true, then there are infinitely many bases b such that the corresponding number (for fixed exponent n) is prime)

Pierpont numbers are a generalization of Thabit numbers of the second kind .

Для целого числа b ≥ 2, простое число Тэбита с основанием b – это число Тэбита с основанием b, которое также является простым. Аналогично, для целого числа b ≥ 2, простое число Уильямса с основанием b – это число Уильямса с основанием b, которое также является простым. Любое простое число p является простым числом Тэбита первого рода с основанием p, простым числом Уильямса первого рода с основанием p+2 и простым числом Уильямса второго рода с основанием p; если p ≥ 5, то p также является простым числом Тэбита второго рода с основанием p−2. Предполагается, что для каждого целого числа b ≥ 2 существует бесконечно много простых чисел Тэбита первого рода с основанием b, бесконечно много простых чисел Уильямса первого рода с основанием b и бесконечно много простых чисел Уильямса второго рода с основанием b; также, для каждого целого числа b ≥ 2, не сравнимого с 1 по модулю 3, существует бесконечно много простых чисел Тэбита второго рода с основанием b. (Если основание b сравнимо с 1 по модулю 3, то все числа Тэбита второго рода с основанием b делятся на 3 (и больше 3, поскольку b ≥ 2), поэтому простых чисел Тэбита второго рода с основанием b не существует.) Показатель простых чисел Тэбита второго рода не может быть сравнимым с 1 по модулю 3 (за исключением самого 1), показатель простых чисел Уильямса первого рода не может быть сравнимым с 4 по модулю 6, а показатель простых чисел Уильямса второго рода не может быть сравнимым с 1 по модулю 6 (за исключением самого 1), поскольку соответствующий многочлен относительно b является приводимым многочленом. (Если n ≡ 1 (mod 3), то (b+1)·bn + 1 делится на b2 + b + 1; если n ≡ 4 (mod 6), то (b−1)·bn − 1 делится на b2 − b + 1; и если n ≡ 1 (mod 6), то (b−1)·bn + 1 делится на b2 − b + 1.) В противном случае, соответствующий многочлен относительно b является неприводимым многочленом, поэтому, если гипотеза Буняковского верна, то существует бесконечно много оснований b, таких что соответствующее число (для фиксированного показателя n, удовлетворяющего условию) является простым. ((b+1)·bn − 1 является неприводимым для всех неотрицательных целых чисел n, поэтому, если гипотеза Буняковского верна, то существует бесконечно много оснований b, таких что соответствующее число (для фиксированного показателя n) является простым.)

Числа Пьерпона являются обобщением чисел Тэбита второго рода.