Кіріспе
3 · 2ⁿ + 1 түріндегі бүтін сан. Сан теориясында Табит саны, Табит ибн Құра саны немесе 321 саны – n нөлдік емес бүтін сан болғандағы түрі.
In number theory, a Thabit number, Thâbit ibn Qurra number, or 321 number is an integer of the form for a non negative integer n.
The first few Thabit numbers are:
2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863,
The 9th century mathematician, physician, astronomer and translator Thābit ibn Qurra is credited as the first to study these numbers and their relation to amicable numbers.
Табит сандарының алғашқылары:
In number theory, a Thabit number, Thâbit ibn Qurra number, or 321 number is an integer of the form for a non negative integer n.
The first few Thabit numbers are:
2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863,
The 9th century mathematician, physician, astronomer and translator Thābit ibn Qurra is credited as the first to study these numbers and their relation to amicable numbers.
2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863.
In number theory, a Thabit number, Thâbit ibn Qurra number, or 321 number is an integer of the form for a non negative integer n.
The first few Thabit numbers are:
2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863,
The 9th century mathematician, physician, astronomer and translator Thābit ibn Qurra is credited as the first to study these numbers and their relation to amicable numbers.
9-шы ғасыр математигі, дәрігері, астрономы және аудармашысы Табит ибн Құра осы сандарды және олардың достық сандармен байланысын зерттеген алғашқы адам ретінде танылады.
In number theory, a Thabit number, Thâbit ibn Qurra number, or 321 number is an integer of the form for a non negative integer n.
The first few Thabit numbers are:
2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863,
The 9th century mathematician, physician, astronomer and translator Thābit ibn Qurra is credited as the first to study these numbers and their relation to amicable numbers.
Жалпылау
b ≥ 2 бүтін саны үшін, Тэбит санының b негізі – теріс емес бүтін сан n үшін (b+1)·bn − 1 түріндегі сан. Сондай-ақ, b ≥ 2 бүтін саны үшін, екінші түрдегі Тэбит санының b негізі – теріс емес бүтін сан n үшін (b+1)·bn + 1 түріндегі сан. Уильямс сандары да Тэбит сандарының жалпылануы болып табылады. b ≥ 2 бүтін саны үшін, Уильямс санының b негізі – (b−1)·bn − 1 түріндегі сан, мұнда n – теріс емес бүтін сан. Сондай-ақ, b ≥ 2 бүтін саны үшін, екінші түрдегі Уильямс санының b негізі – (b−1)·bn + 1 түріндегі сан. b ≥ 2 бүтін саны үшін, Тэбиттің b негізіндегі жай саны – Тэбит саны, ол сонымен қатар жай сан болып табылады. Сол сияқты, b ≥ 2 бүтін саны үшін, Уильямс жай санының b негізі – Уильямс саны, ол сонымен қатар жай сан болып табылады. Кез келген жай сан p – p негізіндегі бірінші түрдегі Тэбит жай саны, p+2 негізіндегі бірінші түрдегі Уильямс жай саны және p негізіндегі екінші түрдегі Уильямс жай саны; егер p ≥ 5 болса, онда p – p-2 негізіндегі екінші түрдегі Тэбит жай саны. Бұл b ≥ 2 кез келген бүтін саны үшін, b негізіндегі бірінші түрдегі шексіз көп Тэбит жай саны, b негізіндегі бірінші түрдегі шексіз көп Уильямс жай саны және b негізіндегі екінші түрдегі шексіз көп Уильямс жай саны бар деген болжам; сонымен қатар, 1-ге модульдік түрде сәйкес келмейтін b ≥ 2 кез келген бүтін саны үшін, b негізіндегі екінші түрдегі шексіз көп Тэбит жай саны бар. (Егер b негізі 1-ге модульдік түрде сәйкес келсе, онда b негізіндегі барлық екінші түрдегі Тэбит сандары 3-ке бөлінеді (және b ≥ 2 болғандықтан 3-тен үлкен), сондықтан b негізіндегі екінші түрдегі Тэбит жай саны жоқ.) Екінші түрдегі Тэбит жай сандарының көрсеткіші 1-ге модульдік түрде сәйкес келмейді (1-ден басқа), бірінші түрдегі Уильямс жай сандарының көрсеткіші 4-ке модульдік түрде сәйкес келмейді және екінші түрдегі Уильямс жай сандарының көрсеткіші 1-ге модульдік түрде сәйкес келмейді (1-ден басқа), өйткені b-ге сәйкес келетін көпмүшелік – толық емес көпмүшелік. (Егер n ≡ 1 (mod 3) болса, онда (b+1)·bn + 1 саны b2 + b + 1 санына бөлінеді; егер n ≡ 4 (mod 6) болса, онда (b−1)·bn − 1 саны b2 − b + 1 санына бөлінеді; және егер n ≡ 1 (mod 6) болса, онда (b−1)·bn + 1 саны b2 − b + 1 санына бөлінеді.) Әйтпесе, b-ге сәйкес келетін көпмүшелік толық емес көпмүшелік болып табылады, сондықтан егер Буняковский болжамы дұрыс болса, онда шексіз көп b негіздері бар, сондықтан сәйкес келетін сан (белгілі бір n көрсеткіші үшін) жай сан болады. ((b+1)·bn − 1 саны барлық теріс емес бүтін n үшін толық емес, сондықтан егер Буняковский болжамы дұрыс болса, онда шексіз көп b негіздері бар, сондықтан сәйкес келетін сан (белгілі бір n көрсеткіші үшін) жай сан.) Пирпонт сандары – екінші түрдегі Тэбит сандарының жалпылануы.
The Williams numbers are also a generalization of Thabit numbers. For integer b ≥ 2, a Williams number base b is a number of the form (b−1)·bn − 1 for a non negative integer n. Also, for integer b ≥ 2, a Williams number of the second kind base b is a number of the form (b−1)·bn + 1 for a non negative integer n.
For integer b ≥ 2, a Thabit prime base b is a Thabit number base b that is also prime. Similarly, for integer b ≥ 2, a Williams prime base b is a Williams number base b that is also prime. Every prime p is a Thabit prime of the first kind base p, a Williams prime of the first kind base p+2, and a Williams prime of the second kind base p; if p ≥ 5, then p is also a Thabit prime of the second kind base p−2. It is a conjecture that for every integer b ≥ 2, there are infinitely many Thabit primes of the first kind base b, infinitely many Williams primes of the first kind base b, and infinitely many Williams primes of the second kind base b; also, for every integer b ≥ 2 that is not congruent to 1 modulo 3, there are infinitely many Thabit primes of the second kind base b. (If the base b is congruent to 1 modulo 3, then all Thabit numbers of the second kind base b are divisible by 3 (and greater than 3, since b ≥ 2), so there are no Thabit primes of the second kind base b.) The exponent of Thabit primes of the second kind cannot congruent to 1 mod 3 (except 1 itself), the exponent of Williams primes of the first kind cannot congruent to 4 mod 6, and the exponent of Williams primes of the second kind cannot congruent to 1 mod 6 (except 1 itself), since the corresponding polynomial to b is a reducible polynomial. (If n ≡ 1 mod 3, then (b+1)·bn + 1 is divisible by b2 + b + 1; if n ≡ 4 mod 6, then (b−1)·bn − 1 is divisible by b2 − b + 1; and if n ≡ 1 mod 6, then (b−1)·bn + 1 is divisible by b2 − b + 1) Otherwise, the corresponding polynomial to b is an irreducible polynomial, so if Bunyakovsky conjecture is true, then there are infinitely many bases b such that the corresponding number (for fixed exponent n satisfying the condition) is prime. ((b+1)·bn − 1 is irreducible for all nonnegative integer n, so if Bunyakovsky conjecture is true, then there are infinitely many bases b such that the corresponding number (for fixed exponent n) is prime)
Pierpont numbers are a generalization of Thabit numbers of the second kind .