Введение

Математический линейный код
Коды алгебраической геометрии, часто сокращаемые как AG-коды, являются типом линейного кода, обобщающим коды Рида — Соломона. Русский математик В. Д. Гоппа впервые построил эти коды в 1982 году.

История

Название этих кодов изменилось со времени публикации статьи Гоппы, в которой они были описаны. Исторически эти коды также назывались геометрическими кодами Гоппы, однако это больше не является стандартным термином, используемым в литературе по теории кодирования. Это связано с тем, что коды Гоппы представляют собой отдельный класс кодов, которые также были сконструированы Гоппой в начале 1970-х годов. Эти коды привлекли внимание специалистов по теории кодирования благодаря их способности превосходить ограничение Гилберта — Варшамова; на момент открытия это ограничение не было преодолено в течение 30 лет после его установления. Это было продемонстрировано Тфасманом, Владутом и Зинком в том же году, когда была опубликована конструкция кода, в их статье "Модульные кривые, кривые Шимуры и коды Гоппы, превосходящие ограничение Варшамова — Гилберта". Название этой статьи могло стать одним из источников путаницы, влияющих на ссылки на коды алгебраической геометрии в литературе по теории кодирования 1980-х и 1990-х годов.

Строительство

В этом разделе описывается построение кодов алгебраической геометрии. Раздел начинается с рассмотрения идей, положенных в основу кодов Рида — Соломона, которые служат обоснованием для построения кодов алгебраической геометрии.

Коды ReedSolomon

Коды алгебраической геометрии являются обобщением кодов Рида — Соломона. Коды Рида — Соломона, разработанные Ирвином Ридом и Густавом Соломоном в 1960 году, используют унивариантные полиномы для формирования кодовых слов, вычисляя значения полиномов достаточно малой степени в точках конечного поля. Формально коды Рида — Соломона определяются следующим образом. Пусть задано множество положительных целых чисел. Тогда код Рида — Соломона является кодом вычисления значений.

Коды алгебраических кривых

Гоппа заметил, что можно рассматривать как аффинную прямую, с соответствующей проективной прямой. Тогда многочлены в (то есть многочлены степени меньше, чем над) можно интерпретировать как многочлены с допустимым полюсом не более чем в точке на бесконечности, причем это ограничение закодировано в коэффициентах соответствующего делителя. Вычисление значений этих функций в рациональных точках на алгебраической кривой над (то есть в точках кривой, лежащих в ) дает код в том же смысле, что и конструкция Рида — Соломона. Однако, поскольку параметры кодов алгебраической геометрии связаны с алгебраическими полями функций, определения кодов часто приводятся на языке алгебраических полей функций над конечными полями. Тем не менее, важно помнить о связи с алгебраическими кривыми, поскольку это обеспечивает более геометрически интуитивный подход к пониманию AG-кодов как расширений кодов Рида — Соломона.