Расчет нагрузок в строительстве: теория балки Эйлера-Бернулли
Euler–Bernoulli beam theory
Теория балок Эйлера-Бернулли: расчет нагрузок и прогибов в строительстве. Классическая теория упругости для проектирования и анализа строительных конструкций.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Метод расчета нагрузок в строительстве
Method for load calculation in construction
Теория балки Эйлера-Бернулли (также известная как теория инженерных балок или классическая теория балок) является упрощением линейной теории упругости, предоставляющим способ расчета несущей способности и деформаций балок. Она охватывает случай небольших прогибов балки, подверженной только поперечным нагрузкам. Игнорируя влияние деформации сдвига и вращательной инерции, она представляет собой частный случай теории балки Тимошенко-Эренфеста. Впервые она была сформулирована около 1750 года, но широкое применение получила лишь с появлением Эйфелевой башни и колеса обозрения в конце XIX века. После этих успешных примеров она быстро стала краеугольным камнем инженерного дела и одним из факторов Второй промышленной революции. Были разработаны дополнительные математические модели, такие как теория пластин, но простота теории балок делает ее важным инструментом в науке, особенно в строительной и машиностроительной инженерии.
Euler–Bernoulli beam theory (also known as engineer's beam theory or classical beam theory) is a simplification of the linear theory of elasticity which provides a means of calculating the load carrying and deflection characteristics of beams. It covers the case corresponding to small deflections of a beam that is subjected to lateral loads only. By ignoring the effects of shear deformation and rotatory inertia, it is thus a special case of Timoshenko–Ehrenfest beam theory. It was first enunciated circa 1750, but was not applied on a large scale until the development of the Eiffel Tower and the Ferris wheel in the late 19th century. Following these successful demonstrations, it quickly became a cornerstone of engineering and an enabler of the Second Industrial Revolution. Additional mathematical models have been developed, such as plate theory, but the simplicity of beam theory makes it an important tool in the sciences, especially structural and mechanical engineering.
История
Преобладающее мнение состоит в том, что Галилео Галилей предпринял первые попытки разработки теории балок, однако недавние исследования утверждают, что Леонардо да Винчи первым сделал ключевые наблюдения. Да Винчи не располагал законом Гука и математическим анализом, необходимыми для завершения теории, в то время как Галилея сдерживало ошибочное предположение. Балка Бернулли названа в честь Якоба Бернулли, который сделал важные открытия в этой области. Леонард Эйлер и Даниэль Бернулли первыми сформулировали полезную теорию примерно в 1750 году.
Prevailing consensus is that Galileo Galilei made the first attempts at developing a theory of beams, but recent studies argue that Leonardo da Vinci was the first to make the crucial observations. Da Vinci lacked Hooke's law and calculus to complete the theory, whereas Galileo was held back by an incorrect assumption he made. The Bernoulli beam is named after Jacob Bernoulli, who made the significant discoveries. Leonhard Euler and Daniel Bernoulli were the first to put together a useful theory circa 1750.
Стресс
Кроме отклонения, уравнение балки описывает силы и моменты и, следовательно, может использоваться для описания напряжений. По этой причине уравнение Эйлера-Бернулли широко применяется в инженерных расчетах, особенно в гражданском и машиностроении, для определения прочности (а также отклонения) балок при изгибе. И изгибающий момент, и поперечная сила вызывают напряжения в балке. Напряжение, обусловленное поперечной силой, достигает максимума вдоль нейтральной оси балки (если ширина балки, t, постоянна по всему поперечному сечению; в противном случае для конкретного сечения необходимо вычислять интеграл, включающий первый момент площади и ширину балки), а максимальное растягивающее напряжение возникает либо на верхней, либо на нижней поверхности. Таким образом, максимальное главное напряжение в балке может находиться не на поверхности и не в центре, а в некоторой общей области. Однако напряжения от поперечной силы пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями от изгибающего момента во всех балках, кроме самых коротких и толстых, а также из-за того, что концентрация напряжений обычно происходит на поверхности, можно предположить, что максимальное напряжение в балке, скорее всего, будет на поверхности.
Besides deflection, the beam equation describes forces and moments and can thus be used to describe stresses. For this reason, the Euler–Bernoulli beam equation is widely used in engineering, especially civil and mechanical, to determine the strength (as well as deflection) of beams under bending. Both the bending moment and the shear force cause stresses in the beam. The stress due to shear force is maximum along the neutral axis of the beam (when the width of the beam, t, is constant along the cross section of the beam; otherwise an integral involving the first moment and the beam's width needs to be evaluated for the particular cross section), and the maximum tensile stress is at either the top or bottom surfaces. Thus the maximum principal stress in the beam may be neither at the surface nor at the center but in some general area. However, shear force stresses are negligible in comparison to bending moment stresses in all but the stockiest of beams as well as the fact that stress concentrations commonly occur at surfaces, meaning that the maximum stress in a beam is likely to be at the surface.