Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике константы Лебега (зависящие от набора узлов и их количества) дают представление о качестве интерполяции функции (в заданных узлах) по сравнению с наилучшей полиномиальной аппроксимацией функции (степень полиномов фиксирована). Константа Лебега для многочленов степени не выше n и набора из n + 1 узлов T обычно обозначается Λn(T). Эти константы названы в честь Анри Лебега.
In mathematics, the Lebesgue constants (depending on a set of nodes and of its size) give an idea of how good the interpolant of a function (at the given nodes) is in comparison with the best polynomial approximation of the function (the degree of the polynomials are fixed). The Lebesgue constant for polynomials of degree at most n and for the set of n + 1 nodes T is generally denoted by Λn(T ). These constants are named after Henri Lebesgue.
Определение
Мы фиксируем узлы интерполяции и интервал, содержащий все узлы интерполяции. Процесс интерполяции сопоставляет функции полином. Это определяет отображение из пространства C([a, b]) всех непрерывных функций на [a, b] в себя. Отображение X является линейным и представляет собой проекцию на подпространство Πn многочленов степени не выше n. Постоянная Лебега определяется как операторная норма отображения X. Для этого определения необходимо задать норму в пространстве C([a, b]). Обычно наиболее удобной является равномерная норма.
We fix the interpolation nodes and an interval containing all the interpolation nodes. The process of interpolation maps the function to a polynomial This defines a mapping from the space C([a, b]) of all continuous functions on [a, b] to itself. The map X is linear and it is a projection on the subspace Πn of polynomials of degree n or less. The Lebesgue constant is defined as the operator norm of X. This definition requires us to specify a norm on C([a, b]). The uniform norm is usually the most convenient.
Чувствительность значений многочлена
Постоянные Лебега также возникают в другой задаче. Пусть p(x) – многочлен степени n, выраженный в форме Лагранжа, связанной с точками в векторе t (то есть вектор u его коэффициентов является вектором, содержащим значения этих точек). Пусть – многочлен, полученный путем небольшого изменения коэффициентов u исходного многочлена p(x). Рассмотрим неравенство:
The Lebesgue constants also arise in another problem. Let p(x) be a polynomial of degree n expressed in the Lagrangian form associated with the points in the vector t (i. e. the vector u of its coefficients is the vector containing the values ). Let be a polynomial obtained by slightly changing the coefficients u of the original polynomial p(x) to Consider the inequality:
Это означает, что (относительная) ошибка в значениях не превысит соответствующую константу Лебега, умноженную на относительную ошибку в коэффициентах. В этом смысле константу Лебега можно рассматривать как относительное число обусловленности оператора, отображающего каждый вектор коэффициентов u в множество значений многочлена с коэффициентами u, представленного в форме Лагранжа. Мы можем определить такой оператор для любого базиса многочленов, но его число обусловленности обычно больше оптимальной константы Лебега для большинства удобных базисов.
This means that the (relative) error in the values of will not be higher than the appropriate Lebesgue constant times the relative error in the coefficients. In this sense, the Lebesgue constant can be viewed as the relative condition number of the operator mapping each coefficient vector u to the set of the values of the polynomial with coefficients u in the Lagrange form. We can actually define such an operator for each polynomial basis but its condition number is greater than the optimal Lebesgue constant for most convenient bases.