Введение
Теорема о преобразованиях Фурье мер Бореля. Теорема Бохнера в гармоническом анализе.
Bochner's theorem in harmonic analysis
In mathematics, Bochner's theorem (named for Salomon Bochner) characterizes the Fourier transform of a positive finite Borel measure on the real line. More generally in harmonic analysis, Bochner's theorem asserts that under Fourier transform a continuous positive definite function on a locally compact abelian group corresponds to a finite positive measure on the Pontryagin dual group. The case of sequences was first established by Gustav Herglotz (see also the related Herglotz representation theorem.)
В математике теорема Бохнера (названа в честь Соломона Бохнера) характеризует преобразование Фурье положительной конечной меры Бореля на вещественной прямой. В более общем виде, в гармоническом анализе теорема Бохнера утверждает, что преобразование Фурье отображает непрерывную положительно определенную функцию на локально компактной абелевой группе в конечную положительную меру на двойственной группе Понтрягина. Случай последовательностей был впервые установлен Густавом Герглоцем (см. также связанную теорему о представлении Герглоца).
Bochner's theorem in harmonic analysis
In mathematics, Bochner's theorem (named for Salomon Bochner) characterizes the Fourier transform of a positive finite Borel measure on the real line. More generally in harmonic analysis, Bochner's theorem asserts that under Fourier transform a continuous positive definite function on a locally compact abelian group corresponds to a finite positive measure on the Pontryagin dual group. The case of sequences was first established by Gustav Herglotz (see also the related Herglotz representation theorem.)
Приложения
В статистике теорема Бохнера может быть использована для описания серийной корреляции определённого типа временных рядов. Последовательность случайных величин с нулевым средним является (в широком смысле) стационарным временным рядом, если ковариация зависит только от n − m. Функция называется функцией автоковариации временного ряда. В силу предположения о нулевом среднем, где ⟨⋅, ⋅⟩ обозначает внутреннее произведение в гильбертовом пространстве случайных величин с конечными вторыми моментами. Следовательно, g является положительно определённой функцией на целых числах. По теореме Бохнера существует единственная положительная мера μ на [0, 1] такая, что эта мера μ называется спектральной мерой временного ряда. Она предоставляет информацию о "сезонных тенденциях" ряда. Например, пусть z будет m-м корнем из единицы (при текущей идентификации это 1/m ∈ [0, 1]), а f – случайной величиной с нулевым средним и дисперсией 1. Рассмотрим временной ряд. Функция автоковариации равна. Очевидно, соответствующая спектральная мера – это дельта-функция Дирака, сосредоточенная в точке z. Это связано с тем, что временной ряд повторяется каждые m периодов. Когда g убывает достаточно быстро, мера μ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, и её производная Радона-Никодима f называется спектральной плотностью временного ряда. Когда g принадлежит , f является преобразованием Фурье от g.
only depends on n − m. The function
is called the autocovariance function of the time series. By the mean zero assumption,
where ⟨⋅, ⋅⟩ denotes the inner product on the Hilbert space of random variables with finite second moments. It is then immediate that g is a positive definite function on the integers By Bochner's theorem, there exists a unique positive measure μ on [0, 1] such that
This measure μ is called the spectral measure of the time series. It yields information about the "seasonal trends" of the series. For example, let z be an m th root of unity (with the current identification, this is 1/m ∈ [0, 1]) and f be a random variable of mean 0 and variance 1. Consider the time series The autocovariance function is
Evidently, the corresponding spectral measure is the Dirac point mass centered at z. This is related to the fact that the time series repeats itself every m periods. When g has sufficiently fast decay, the measure μ is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure, and its Radon–Nikodym derivative f is called the spectral density of the time series. When g lies in , f is the Fourier transform of g.