Кіріспе
Борел өлшемінің Фурье түрлендіруі туралы теорема. Гармониялық талдаудағы Бохнер теоремасы. Математикада Бохнер теоремасы (Саломон Бохнердің есімімен аталады) нақты түзудегі оң және шекті Борел өлшемінің Фурье түрлендіруін сипаттайды. Гармониялық талдауда, жалпы алғанда, Бохнер теоремасы Фурье түрлендіруі астында жергілікті тығыз Абель тобындағы үздіксіз, оң анықталған функцияның Понтрягин дуал тобындағы шекті оң өлшемге сәйкес келетінін көрсетеді. Реттер жағдайы алғаш рет Густав Герглоцпен белгіленді (қатысты Герглоцтың өкілдік теоремасын да қараңыз).
Bochner's theorem in harmonic analysis
In mathematics, Bochner's theorem (named for Salomon Bochner) characterizes the Fourier transform of a positive finite Borel measure on the real line. More generally in harmonic analysis, Bochner's theorem asserts that under Fourier transform a continuous positive definite function on a locally compact abelian group corresponds to a finite positive measure on the Pontryagin dual group. The case of sequences was first established by Gustav Herglotz (see also the related Herglotz representation theorem.)
Қолданбалар
Статистикада Бохнер теоремасы белгілі бір типтегі уақыт сериясының сериялық корреляциясын сипаттау үшін қолданылуы мүмкін. Орташасы 0-ге тең кездейсоқ шамалардың тізбегі, егер ковариациясы тек n – m-ге тәуелді болса, (кең мағынада) стационарлық уақыт сериясы болып табылады. Функция уақыт сериясының автоковариациялық функциясы деп аталады. Орташасы нөлдік деп есептесек, мұнда ⟨⋅, ⋅⟩ – шекті екінші моменттері бар кездейсоқ шамалардың Гильберт кеңістігіндегі ішкі көбейтіндіні білдіреді. Осыдан g функциясы бүтін сандардағы оң анықталған функция болады. Бохнер теоремасы бойынша, [0, 1] аралығында μ-нің бірегей оң өлшемі бар, бұл μ өлшемі уақыт сериясының спектрлік өлшемі деп аталады. Ол серияның "маусымдық тенденциялары" туралы ақпарат береді. Мысалы, z бірліктің m-ші түбірі болсын (қазіргі идентификация бойынша, бұл 1/m ∈ [0, 1]), ал f – орташасы 0 және дисперсиясы 1-ге тең кездейсоқ шама. Уақыт сериясын қарастырайық. Автоковариациялық функция, әрине, сәйкес спектрлік өлшем – z-ге центрленген Дирактың нүктелік массасы. Бұл уақыт сериясының әр m периодтан кейін қайталануымен байланысты. g жеткілікті жылдам азайып бара жатса, μ өлшемі Лебег өлшеміне қатысты абсолюттік үздіксіздікке ие болады, ал оның Радон–Никодим туындысы f уақыт сериясының спектральдық тығыздығы деп аталады. g жататын болса, f – g-нің Фурье түрлендіруі.
only depends on n − m. The function
is called the autocovariance function of the time series. By the mean zero assumption,
where ⟨⋅, ⋅⟩ denotes the inner product on the Hilbert space of random variables with finite second moments. It is then immediate that g is a positive definite function on the integers By Bochner's theorem, there exists a unique positive measure μ on [0, 1] such that
This measure μ is called the spectral measure of the time series. It yields information about the "seasonal trends" of the series. For example, let z be an m th root of unity (with the current identification, this is 1/m ∈ [0, 1]) and f be a random variable of mean 0 and variance 1. Consider the time series The autocovariance function is
Evidently, the corresponding spectral measure is the Dirac point mass centered at z. This is related to the fact that the time series repeats itself every m periods. When g has sufficiently fast decay, the measure μ is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure, and its Radon–Nikodym derivative f is called the spectral density of the time series. When g lies in , f is the Fourier transform of g.