Введение

Особенность некоторых стохастических процессов

В теории вероятностей и статистике, единичный корень – это характеристика некоторых стохастических процессов (таких как случайные блуждания), которая может вызывать проблемы в статистическом выводе при работе с моделями временных рядов. Линейный стохастический процесс имеет единичный корень, если 1 является корнем его характеристического уравнения. Такой процесс является нестационарным, но не всегда имеет тренд. Если другие корни характеристического уравнения лежат внутри единичного круга, то есть имеют модуль (абсолютную величину) меньше единицы, то первая разность процесса будет стационарной; в противном случае процесс потребуется дифференцировать несколько раз, чтобы добиться стационарности. Если имеется d единичных корней, процесс необходимо дифференцировать d раз, чтобы сделать его стационарным. Благодаря этой особенности, процессы с единичным корнем также называют стационарными по разностям. Процессы с единичным корнем иногда путают с процессами, стационарными по тренду; хотя они обладают многими общими свойствами, они различаются во многих аспектах. Временной ряд может быть нестационарным, но при этом не иметь единичного корня и быть стационарным по тренду. Как в процессах с единичным корнем, так и в процессах, стационарных по тренду, среднее значение может расти или убывать со временем; однако, при наличии шока, процессы, стационарные по тренду, возвращаются к среднему (то есть являются переходными, временной ряд снова сходится к растущему среднему, на которое шок не повлиял), в то время как процессы с единичным корнем оказывают постоянное воздействие на среднее значение (то есть с течением времени сходимости не происходит). Если корень характеристического уравнения процесса больше 1, то он называется взрывным процессом, хотя такие процессы иногда ошибочно называют процессами с единичным корнем. Наличие единичного корня можно проверить с помощью теста на единичный корень.

Связанные модели

В дополнение к авторегрессионным (AR) и авторегрессионно-скользящим средним (ARMA) моделям, в регрессионном анализе возникают и другие важные модели, в которых ошибки модели сами могут иметь структуру временного ряда и, следовательно, нуждаться в моделировании с помощью AR- или ARMA-процесса, который может содержать единичный корень, как обсуждалось выше. Свойства конечных выборок регрессионных моделей с ошибками ARMA первого порядка, включая единичные корни, были проанализированы.

Оценка, когда может присутствовать корниль единицы

Часто для оценки коэффициентов наклона авторегрессионной модели используются метод наименьших квадратов (МНК). Использование МНК опирается на предположение о стационарности стохастического процесса. Если стохастический процесс нестационарен, применение МНК может привести к неверным оценкам. Грейнджер и Ньюболд назвали такие оценки результатами "мнимой регрессии": высокие значения R² и высокие t-статистики приводят к результатам, не имеющим реального (в их контексте, экономического) смысла. Для оценки коэффициентов наклона следует сначала провести тест на единичный корень, нулевая гипотеза которого заключается в наличии единичного корня. Если эта гипотеза отвергается, можно использовать МНК. Однако, если наличие единичного корня не отвергается, следует применить оператор дифференцирования к ряду. Если повторный тест на единичный корень показывает, что дифференцированный временной ряд стационарен, то МНК можно применить к этому ряду для оценки коэффициентов наклона. Например, в случае AR(1), является стационарным. В случае AR(2), можно записать как , где L – оператор запаздывания, уменьшающий временной индекс переменной на один период: Если , модель имеет единичный корень, и мы можем определить ; тогда стационарен, если МНК может быть использован для оценки коэффициента наклона. Если процесс имеет несколько единичных корней, оператор дифференцирования можно применить несколько раз.

Гипотеза о корне единицы

Экономисты спорят о том, имеет ли различная экономическая статистика, особенно объём производства, единичный корень или является тренд-стационарной. Процесс с единичным корнем и дрейфом в случае первого порядка задаётся выражением

где c – постоянный член, называемый членом "дрейфа", а – белый шум. Любое ненулевое значение шума, возникающее только в течение одного периода, будет навсегда влиять на значение , как показано на графике, поэтому отклонения от линии нестационарны; возврата к линии тренда не происходит. В отличие от этого, тренд-стационарный процесс задаётся выражением

где k – наклон тренда, а – шум (белый шум в простейшем случае; в более общем случае – шум, подчиняющийся собственному стационарному авторегрессионному процессу). Здесь любой временный шум не изменит долгосрочную тенденцию находиться на линии тренда, что также показано на графике. Этот процесс называется тренд-стационарным, поскольку отклонения от линии тренда стационарны. Этот вопрос особенно популярен в литературе, посвящённой экономическим циклам. Исследования в этой области начались с работ Нельсона и Плоссера, чья статья о ВНП и других агрегированных показателях производства не позволила отвергнуть гипотезу о единичном корне для этих рядов. С тех пор развернулись дебаты, тесно связанные с техническими спорами о статистических методах. Некоторые экономисты утверждают, что ВВП имеет единичный корень или структурный разрыв, что подразумевает, что экономические спады приводят к постоянному снижению уровня ВВП в долгосрочной перспективе. Другие экономисты утверждают, что ВВП является тренд-стационарным: то есть, когда ВВП опускается ниже тренда во время спада, он впоследствии возвращается к уровню, определяемому трендом, так что постоянного снижения объёма производства не происходит. Хотя литература по гипотезе о единичном корне может состоять из сложных дебатов о статистических методах, эта гипотеза имеет значительные практические последствия для экономических прогнозов и политики.