Кіріспе
Кейбір стохастикалық процестердің ерекшелігі Ықтималдық теориясы мен статистикада бірлік түбірі – кейбір стохастикалық процестердің (мысалы, кездейсоқ қозғалыс) ерекшелігі, ол уақыт қатарларының модельдерін қамтитын статистикалық қорытындылар жасауда мәселелер тудыруы мүмкін. Сызықтық стохастикалық процесте бірлік түбірі болады, егер 1 процестің сипаттамалық теңдеуінің түбірі болса. Мұндай процесс тұрақты емес, бірақ әрқашан трендке ие болмайды. Егер сипаттамалық теңдеудің басқа түбірлері бірлік шеңбердің ішінде жатса, яғни модулі (абсолюттік мәні) бірден кем болса, онда процестің бірінші айырмасы тұрақты болады; әйтпесе, процесс тұрақты болу үшін бірнеше рет дифференциалдануы керек. Егер d бірлік түбірі болса, процесті тұрақты ету үшін d рет дифференциалдау қажет. Осы ерекшелікке байланысты бірлік түбір процестері айырмалық тұрақты деп те аталады. Бірлік түбір процестерін кейде трендтік тұрақты процестермен шатастыруға болады; олар көптеген қасиеттерді бөліссе де, көптеген жағдайларда өзгеше. Уақыт қатары тұрақты емес болуы мүмкін, бірақ бірлік түбірі болмауы және трендтік тұрақты болуы мүмкін. Бірлік түбір және трендтік тұрақты процестерде де орташа мән уақыт өте өсуі немесе азаюы мүмкін; алайда, шок болған кезде трендтік тұрақты процестер орташаға оралады (яғни уақытша, уақыт қатары шокқа ұшырамаған өсу орталығына қайтадан жақындайды), ал бірлік түбір процестері орташа мәнге тұрақты әсер етеді (яғни уақыт өте жақындасу болмайды). Егер процестің сипаттамалық теңдеуінің түбірі 1-ден үлкен болса, онда ол жарылыс процесі деп аталады, тіпті мұндай процестер кейде бірлік түбір процесі деп қате аталады. Бірлік түбірдің болуын бірлік түбір тестісін қолдану арқылы тексеруге болады.
In probability theory and statistics, a unit root is a feature of some stochastic processes (such as random walks) that can cause problems in statistical inference involving time series models. A linear stochastic process has a unit root if 1 is a root of the process's characteristic equation. Such a process is non stationary but does not always have a trend. If the other roots of the characteristic equation lie inside the unit circle—that is, have a modulus (absolute value) less than one—then the first difference of the process will be stationary; otherwise, the process will need to be differenced multiple times to become stationary. If there are d unit roots, the process will have to be differenced d times in order to make it stationary. Due to this characteristic, unit root processes are also called difference stationary. Unit root processes may sometimes be confused with trend stationary processes; while they share many properties, they are different in many aspects. It is possible for a time series to be non stationary, yet have no unit root and be trend stationary. In both unit root and trend stationary processes, the mean can be growing or decreasing over time; however, in the presence of a shock, trend stationary processes are mean reverting (i. e. transitory, the time series will converge again towards the growing mean, which was not affected by the shock) while unit root processes have a permanent impact on the mean (i. e. no convergence over time). If a root of the process's characteristic equation is larger than 1, then it is called an explosive process, even though such processes are sometimes inaccurately called unit roots processes. The presence of a unit root can be tested using a unit root test.
Байланысты үлгілер
Авторегрессиялық (AR) және авторегрессиялық-қозғалмалы орташа (ARMA) модельдерден өзге, регрессиялық талдауда маңызды басқа да модельдер кездеседі. Мұнда модель қателіктерінің өзі уақыт қатары құрылымына ие болуы мүмкін, сондықтан оларды жоғарыда талданғандай, бірлік түбірі болатын AR немесе ARMA процесімен модельдеу қажеттігі туындауы мүмкін. Бірінші реттік ARMA қателіктері бар регрессиялық модельдердің шекті үлгілік қасиеттері, соның ішінде бірлік түбірлері зерттелді.
Бірлік түбірдің болуы мүмкін кезін бағалау
Көбінесе, авторегрессиялық модельдің еңіс коэффициенттерін бағалау үшін ең кіші квадраттар әдісі (OLS) қолданылады. OLS қолдану стохастикалық процестің стационарлы болуына байланысты. Егер стохастикалық процесс стационарлы болмаса, OLS қолдану дұрыс емес бағалауларға әкелуі мүмкін. Грэнджер мен Ньюболд мұндай бағалауларды "жалған регрессия" нәтижелері деп атады: жоғары R² мәндері және жоғары t-статистикалары нақты (олардың контекстінде, экономикалық) мағынасы жоқ нәтижелер береді. Еңіс коэффициенттерін бағалау үшін алдымен бірлік түбір тестін жүргізу керек, оның бұл гипотезасы бірлік түбірдің бар екенін көрсетеді. Егер бұл гипотеза жоққа шығарылса, OLS қолдануға болады. Дегенмен, егер бірлік түбірдің бар екені жоққа шығарылмаса, онда серияға айырма операторын қолдану керек. Егер айырмашылық жасалған уақыт қатарына жасалған тағы бір бірлік түбір тесті стационарлы екенін көрсетсе, онда еңіс коэффициенттерін бағалау үшін OLS осы қатарға қолданылуы мүмкін. Мысалы, AR(1) жағдайында, стационарлы. AR(2) жағдайында, L – уақыт индексін бір кезеңге төмендететін кідіріс операторы ретінде жазылуы мүмкін: Егер , модельде бірлік түбір бар және біз анықтай аламыз; онда OLS еңіс коэффициентін бағалау үшін қолданылуы мүмкін, егер процесс бірнеше бірлік түбірге ие болса, айырма операторы бірнеше рет қолданылуы мүмкін.
is stationary if OLS can be used to estimate the slope coefficient,
If the process has multiple unit roots, the difference operator can be applied multiple times.
Бірлік түбір гипотезасы
Экономистер әр түрлі экономикалық статистиканың, әсіресе өнімнің бірлік түбірі бар ма, әлде трендтік тұрақты ма екендігі туралы пікір таластырылып жүреді. Бірінші реттік жағдайда дрифтпен бірлік түбір процесі былай беріледі:
мұнда c – "дрифт" термині деп аталатын тұрақты шама, ал – ақ шу. Шу терминінің тек бір кезеңде пайда болатын кез келген нөлдік емес мәні, графикте көрсетілгендей, мәніне тұрақты түрде әсер етеді, сондықтан сызығынан ауытқулар стационарлық емес; ешқандай тренд сызығына қайта оралу болмайды. Керісінше, трендтік стационарлық процесс былай беріледі:
мұнда k – трендтің еңістігі, ал – шу (ең қарапайым жағдайда ақ шу; жалпы алғанда, өзінің стационарлық авторегрессивтік процесін ұстанатын шу). Бұл жағдайда кез келген уақытша шу тренд сызығындағы ұзақ мерзімді тенденцияны өзгертпейді, бұл да графикте көрсетілген. Бұл процесс трендтік стационарлық деп аталады, өйткені тренд сызығынан ауытқулар стационарлық. Бұл мәселе бизнес циклдары туралы әдебиетте ерекше танымал. Зерттеулер Нельсон мен Плоссердің ЖҰӨ және басқа да өнімнің жиынтықтарына қатысты мақаласынан басталды, ол осы қатарлар үшін бірлік түбір гипотезасын жоққа шығармады. Содан бері статистикалық әдістерге қатысты техникалық даулармен байланысты пікір талас жүріп келеді. Кейбір экономистер ЖІӨ-нің бірлік түбірі немесе құрылымдық үзілісі бар деп санайды, бұл экономикалық төмендеулер ұзақ мерзімді перспективада ЖІӨ деңгейінің тұрақты түрде төмендеуіне әкеледі. Басқа экономистер ЖІӨ трендтік стационарлық деп санайды: яғни, ЖІӨ төмендеу кезінде трендтен төмен түсіп кеткенде, ол кейіннен трендке сәйкес деңгейге қайта оралады, сондықтан өнімнің тұрақты төмендеуі болмайды. Бірлік түбір гипотезасы туралы әдебиет статистикалық әдістерге қатысты құпия пікірталастардан тұруы мүмкін, бірақ бұл гипотеза экономикалық болжамдар мен саясат үшін маңызды практикалық салдарға ие.