Введение

Теорема в классическом электромагнетизме Теоремы взаимности в классическом электромагнетизме В классическом электромагнетизме взаимность относится к различным связанным теоремам, связанным с взаимозаменяемостью времени гармонических электрических плотностей тока (источников) и возникающих электромагнитных полей в уравнениях Максвелла для времени инвариантных линейных сред при определенных ограничениях. Взаимность тесно связана с концепцией симметричных операторов из линейной алгебры, применяемой к электромагнетизму. Возможно, наиболее распространенной и общей такой теоремой является взаимность Лоренца (и различные его специальные случаи, такие как взаимность Рэйли Карсона), названная в честь работы Хендрика Лоренца в 1896 году после аналогичных результатов, касающихся звука Лорда Рэйли и света Гельмгольца (Поттон, 2004). В свободном виде он утверждает, что связь между колеблющимся током и полученным электрическим полем остается неизменной, если переключить точки, где помещается ток, и где измеряется поле. Для конкретного случая электрической сети, иногда формулируется как утверждение, что напряжения и токи в разных точках сети могут быть взаимозаменяемы. Более технически, из этого следует, что взаимный импиденс первой цепи, вызванный второй, такой же, как и взаимный импиденс второй цепи, вызванный первой. Взаимность полезна в оптике, которая (кроме квантовых эффектов) может быть выражена с точки зрения классического электромагнетизма, а также с точки зрения радиометрии. В электростатике существует аналогичная теорема, известная как взаимность Грина, относящаяся к обмену электрического потенциала и плотности электрического заряда. Формы теорем взаимности используются во многих электромагнитных приложениях, таких как анализ электрических сетей и антенных систем. Например, взаимность подразумевает, что антенны работают одинаково хорошо, как передатчики или приемники, и, в частности, что излучение антенны и приемные модели идентичны. Взаимность также является базовой леммой, которая используется для доказательства других теорем об электромагнитных системах, таких как симметрия матрицы импеданса и матрицы рассеяния, симметрии функций Грина для использования в методах вычисления граничных элементов и матриц переноса, а также свойства ортогональности гармонических режимов в волноводах (в качестве альтернативы доказательству этих свойств непосредственно из симметрий собственных операторов).

Отмена по поверхностному сроку

Отмена поверхностных условий на правой стороне теоремы взаимности Лоренца для интеграции во всем пространстве не совсем очевидна, но может быть получена несколькими способами. Строгое обращение с поверхностным интегралом учитывает причинность взаимодействующих состояний волнового поля: вклад поверхностного интеграла в бесконечности исчезает для временного свёртывания взаимодействия только двух причинных волновых полей (взаимодействие временной корреляции приводит к не нулевому вкладу). Другой простой аргумент заключается в том, что поля уходят к нулю в бесконечности для локализованного источника, но этот аргумент не удается в случае без потерь средств массовой информации: при отсутствии поглощения излучаемые поля распадаются обратно пропорционально расстоянию, но площадь поверхности интеграла увеличивается с квадратом расстояния, поэтому две скорости балансируют друг с другом в интеграле. Вместо этого обычно (например, Кинг, 1963) предполагают, что среда является однородной и изотропной достаточно далеко. В этом случае излучаемое поле асимптотически принимает форму плоских волн, распространяющихся радиально наружу (в направлении) с и где Z - скалярный импиденс окружающей среды. Затем следует, что по простому векторному тождеству равно Similarly, и два термина отменяют друг друга. Вышеуказанный аргумент явно показывает, почему поверхностные термины могут отменить, но не имеют общности. Альтернативно, можно рассматривать случай без потерь окружающих сред с радиационными граничными условиями, налагаемыми через принцип ограничения поглощения (LAP): принимая предел, поскольку потери (воображаемая часть ε) становятся нулевыми. Для любых ненулевых потерь поля деградируют экспоненциально с расстоянием, и поверхностный интеграл исчезает, независимо от того, является ли среда однородной. Поскольку левая сторона теоремы взаимности Лоренца исчезает для интеграции во всем пространстве с любыми ненулевыми потерями, она также должна исчезать в пределе, поскольку потери становятся нулевыми. (Обратите внимание, что LAP неявно налагает условия излучения Соммерфельда нулевых входящих волн от бесконечности, потому что в противном случае даже произвольно небольшая потеря устранит входящие волны, и предел не даст безпотерйного решения.)

Взаимность и функция Грина

Обратная оператора, т. е. in (которая требует спецификации граничных условий в бесконечности в безпотертной системе), имеет ту же симметрию, что и, по сути, является свёртыванием функции Грина. Таким образом, другая перспектива взаимности Лоренца заключается в том, что она отражает тот факт, что свертывание с электромагнитной функцией Грина является сложной симметричной (или антигермитовой, ниже) линейной операцией при соответствующих условиях на ε и μ. Более конкретно, функция Грина может быть написана как n-я составляющая at из точечного дипольного тока в м-м направлении at (в основном, дает элементы матрицы ), и взаимность Рэйли Карсона эквивалентна утверждению, что в отличие от него, как правило, невозможно дать ясную формулу для функции Грина (за исключением особых случаев, таких как однородные среды), но она обычно вычисляется численными методами.

Магнитно-оптические материалы без потерь

Один случай, в котором ε не является симметричной матрицей, относится к магнитооптическим материалам, в этом случае обычное утверждение о взаимности Лоренца не имеет значения (см. ниже для обобщения, однако). Если мы допускаем магнитооптические материалы, но ограничиваемся ситуацией, когда поглощение материала незначительно, то ε и μ являются в целом 3×3 комплексными матрицами Гермита. В этом случае оператор является гермитовым при конъюгированном внутреннем произведении, и вариант теоремы взаимности все еще имеет место: где изменения знака происходят из в приведенном выше уравнении, что делает оператор антигермитовым (не обращая внимания на поверхностные термины). Для особого случая это дает повторное утверждение сохранения энергии или теорему Пойнтинга (поскольку здесь мы приняли безпотеря материала, в отличие от выше): Средняя скорость работы, выполненная током (данная реальной частью) равна среднему во времени потоку мощности (интегралу вектора Пойнтинга). Однако, по той же причине, термины поверхности не исчезают, если интегрировать все пространство для этого варианта взаимности, поэтому форма Рэйли Карсона не имеет значения без дополнительных предположений. Тот факт, что магнитооптические материалы нарушают взаимность Рэйли Карсона, является ключом к устройствам, таким как изоляторы Фарадея и циркуляторы. Ток с одной стороны изолятора Фарадея создает поле с другой стороны, но не наоборот.

Обобщение на несимметричные материалы

Для комбинации потерянных и магнитооптических материалов, и в целом, когда тензоры ε и μ не являются ни симметричными, ни гермитовыми матрицами, все еще можно получить обобщенную версию взаимности Лоренца, рассматривая и существуя в разных системах. В частности, если удовлетворить уравнениям Максвелла при ω для системы с материалами и удовлетворить уравнениям Максвелла при ω для системы с материалами, где обозначает транспозицию, то уравнение взаимности Лоренца имеет значение. Это можно далее обобщить для бианизотропных материалов путем транспонирования полного тензора восприимчивости 6 × 6.

Исключения из принципа взаимности

Для нелинейных сред, в целом, не имеет значения ни одна теорема взаимности. Взаимность также не применяется к изменяющимся во времени ("активным") средам; например, когда ε модулируется во времени каким-либо внешним процессом. (В обоих этих случаях частота ω обычно не является консервативной величиной.)

Взаимность Фельд-Тай

В 1992 году тесно связанная с ней теорема взаимности была сформулирована независимо от Y. А. Фельд и К. Т. Тай, и известен как взаимность Фельд Тай или лемма Фельд Тай. t связывает два источника тока с локализованной гармонической частотой и полученные магнитные поля: однако, лемма Фельд Тай действительна только при гораздо более ограничительных условиях, чем взаимность Лоренца. Для этого обычно требуются линейные среды, инвариантные во времени, с изотропным однородным импедансом, т.е. постоянным скалярным соотношением μ/ε, за исключением областей идеально проводящего материала. Более точно, взаимность Фельд Тай требует гермитовой (или скорее, сложной симметричной) симметрии электромагнитных операторов, как выше, но также основывается на предположении, что оператор, относящийся и является постоянным скалярным кратным оператора, относящегося, и что верно, когда ε является постоянным скалярным кратным μ (два оператора обычно отличаются путем обмена ε и μ). Как и выше, можно также построить более общую формулировку для интегралов с конечным объемом.

Взаимность Грина

В то время как вышеуказанные теоремы взаимности были для колеблющихся полей, взаимность Грина является аналогичной теоремой для электростатики с фиксированным распределением электрического заряда (Панофски и Филлипс, 1962). В частности, давайте обозначим электрический потенциал, получаемый из общей плотности заряда. Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона, где допустимость вакуума. Аналогичным образом, давайте обозначим электрический потенциал, получаемый из общей плотности заряда , удовлетворяющий В обоих случаях мы предполагаем, что распределения заряда локализованы, так что потенциалы могут быть выбраны, чтобы идти до нуля в бесконечности. Затем, теорема взаимности Грина утверждает, что для интегралов во всем пространстве: Эта теорема легко доказывается из второго тождества Грина. Эквивалентно, это утверждение, что т. е. это - оператор Гермита (как следует путем интеграции по частям дважды).