Введение

Обратная величина среднего арифметического обратных величин набора чисел. В математике, гармоническое среднее является одним из нескольких видов среднего значения, и в частности, одним из пифагорейских средних. Оно иногда подходит для ситуаций, когда требуется средняя скорость. Гармоническое среднее можно выразить как обратное арифметическому среднему обратных значений заданного набора данных. В качестве простого примера, гармоническое среднее для чисел 1, 4 и 4 равно...

Средневесовая средняя гармония

Если к набору данных , , сопоставлен набор весов , , , то взвешенное гармоническое среднее определяется как

Не взвешенное гармоническое среднее можно рассматривать как частный случай, когда все веса равны.

Плотность

Аналогичным образом, если требуется оценить плотность сплава, зная плотности его составляющих элементов и их массовые доли (или, что эквивалентно, процентное содержание по массе), то прогнозируемая плотность сплава (без учета обычно незначительных изменений объема, связанных с эффектами упаковки атомов) является взвешенным гармоническим средним индивидуальных плотностей, взвешенным по массе, а не взвешенным арифметическим средним, как можно было бы предположить изначально. Для использования взвешенного арифметического среднего плотности необходимо взвешивать по объему. Применение размерностного анализа к данной задаче, с указанием единиц массы для каждого элемента и обеспечением взаимной компенсации только масс одного и того же элемента, проясняет этот момент.

Электричество

Если соединить два электрических резистора параллельно, один с сопротивлением x (например, 60 Ом) и другой с сопротивлением y (например, 40 Ом), то результат будет эквивалентен использованию двух резисторов с одинаковым сопротивлением, равным среднему гармоническому x и y (48 Ом): эквивалентное сопротивление в обоих случаях составляет 24 Ом (половина среднего гармонического). Тот же принцип применим к конденсаторам, соединенным последовательно, или к индукторам, соединенным параллельно. Однако, если соединить резисторы последовательно, то среднее сопротивление будет равно арифметическому среднему x и y (50 Ом), а общее сопротивление будет вдвое больше, то есть равно сумме x и y (100 Ом). Этот принцип применим к конденсаторам, соединенным параллельно, или к индукторам, соединенным последовательно. Как и в предыдущем примере, тот же принцип применим при соединении более двух резисторов, конденсаторов или индукторов, при условии, что все они соединены параллельно или все последовательно. "Эффективная масса проводимости" полупроводника также определяется как среднее гармоническое эффективных масс по трем кристаллографическим направлениям.

Оптическая

Как и для других оптических уравнений, уравнение тонкой линзы = + может быть переписано таким образом, что фокусное расстояние f равно половине гармонического среднего расстояний до предмета u и до изображения v от линзы. Две тонкие линзы с фокусными расстояниями f1 и f2, расположенные последовательно, эквивалентны одной тонкой линзе с фокусным расстоянием fhm, равным их гармоническому среднему. Если выразить это в оптической силе, то две тонкие линзы с оптическими силами P1 и P2, расположенные последовательно, эквивалентны одной тонкой линзе с оптической силой Pam, равной их арифметическому среднему.

В геометрии

В любом треугольнике радиус вписанной окружности равен одной трети гармонического среднего высот. Для любой точки P на меньшей дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC, с расстояниями q и t от B и C соответственно, и с точкой пересечения PA и BC, находящейся на расстоянии y от точки P, справедливо, что y равно половине гармонического среднего q и t.

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и высотой h, опущенной из прямого угла на гипотенузу, h² равно половине гармонического среднего a² и b². Пусть t и s (t > s) – стороны двух вписанных квадратов в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c. Тогда s² равно половине гармонического среднего c² и t². Пусть трапеция имеет вершины A, B, C и D последовательно и параллельные стороны AB и CD. Пусть E – точка пересечения диагоналей, а точки F и G лежат на сторонах DA и BC соответственно так, что FEG параллельна AB и CD. Тогда FG является гармоническим средним AB и DC. (Это доказуемо с помощью подобных треугольников.) Одно из применений этого результата для трапеции – в задаче о скрещенных лестницах, где две лестницы расположены напротив друг друга через переулок, каждая опирается ногами на основание одной из стен, причем одна прислонена к стене на высоте A, а другая – к противоположной стене на высоте B, как показано на рисунке. Лестницы пересекаются на высоте h над полом переулка. Тогда h равна половине гармонического среднего A и B. Этот результат остается справедливым, даже если стены наклонны, но остаются параллельными, а "высоты" A, B и h измеряются как расстояния от пола по линиям, параллельным стенам. Это можно легко доказать, используя формулу площади трапеции и формулу сложения площадей. В эллипсе полумалый параметр (расстояние от фокуса до эллипса по прямой, параллельной малой оси) является гармоническим средним максимального и минимального расстояний эллипса от фокуса.

В других науках

В информатике, в частности в области информационного поиска и машинного обучения, гармоническое среднее точности (количество истинно положительных результатов, делённое на количество предсказанных положительных результатов) и полноты (количество истинно положительных результатов, делённое на количество фактических положительных результатов) часто используется как сводный показатель производительности для оценки алгоритмов и систем: F-мера (или F-оценка). Это применяется в информационном поиске, поскольку релевантен только положительный класс, в то время как количество отрицательных результатов, как правило, велико и неизвестно. Таким образом, возникает компромисс в отношении того, следует ли оценивать правильные положительные прогнозы относительно количества предсказанных положительных результатов или количества фактических положительных результатов, поэтому оценка производится относительно предполагаемого числа положительных результатов, которое является арифметическим средним из двух возможных знаменателей. Следствия вытекают из базовой алгебры в задачах, где люди или системы работают совместно. Например, если бензиновый насос может осушить бассейн за 4 часа, а аккумуляторный насос – за 6 часов, то обоим насосам потребуется 2,4 часа, чтобы осушить бассейн вместе. Это половина гармонического среднего 6 и 4: то есть, подходящим средним значением для двух типов насосов является гармоническое среднее, и при использовании одной пары насосов (двух насосов) потребуется половина этого гармонического среднего времени, а при использовании двух пар насосов (четырёх насосов) – четверть этого гармонического среднего времени. В гидрологии гармоническое среднее аналогичным образом используется для усреднения значений гидравлической проводимости для потока, перпендикулярного слоям (например, геологическим или почвенным); поток, параллельный слоям, использует арифметическое среднее. Это кажущееся различие в усреднении объясняется тем, что в гидрологии используется проводимость, которая является обратной величиной сопротивления. В саберметрике показатель Power–speed бейсбольного игрока представляет собой гармоническое среднее его количества хоум-ранов и украденных баз. В популяционной генетике гармоническое среднее используется при расчёте влияния колебаний численности популяции на эффективный размер популяции. Гармоническое среднее учитывает тот факт, что такие события, как «бутылочное горлышко» популяции, увеличивают скорость генетического дрейфа и уменьшают количество генетических вариаций в популяции. Это связано с тем, что после «бутылочного горлышка» лишь небольшое число особей вносит вклад в генофонд, ограничивая генетическое разнообразие, присутствующее в популяции на многие поколения вперёд. При оценке топливной экономичности автомобилей обычно используются две величины: мили на галлон (mpg) и литры на 100 км. Поскольку размерности этих величин являются обратными друг другу (одна – расстояние на объём, другая – объём на расстояние), при расчёте среднего значения топливной экономичности ряда автомобилей одна величина даст гармоническое среднее другой – то есть, преобразование среднего значения топливной экономичности, выраженного в литрах на 100 км, в мили на галлон даст гармоническое среднее топливной экономичности, выраженной в милях на галлон. Для расчёта средней топливной экономичности парка транспортных средств на основе индивидуального расхода топлива следует использовать гармоническое среднее, если парк использует мили на галлон, а арифметическое среднее – если парк использует литры на 100 км. В США стандарты CAFE (федеральные стандарты расхода топлива автомобилей) используют гармоническое среднее. В химии и ядерной физике средняя масса частицы смеси, состоящей из различных видов (например, молекул или изотопов), определяется как гармоническое среднее масс отдельных видов, взвешенное по их соответствующей массовой доле.

Статистика

Для случайной выборки среднее гармоническое вычисляется, как показано выше. Среднее и дисперсия могут быть бесконечными (если выборка содержит хотя бы один член вида 1/0).