Введение

Число Джуги — это составное число n, такое, что для каждого из его различных простых делителей pi выполняется , или, что эквивалентно, для каждого из его различных простых делителей pi выполняется. Числа Джуги названы в честь математика Джузеппе Джуги и связаны с его гипотезой о простоте.

Свойства

Простые множители числа Гиуги должны быть различными. Если число *n* делится на *p*, то следует, что *p*<sup>2</sup> не делит *n*, где *n/p* делится на *p*. Следовательно, *n* не будет делиться на *p*<sup>2</sup>, и, таким образом, *n* не будет числом Гиуги. Таким образом, только числа, свободные от квадратов, могут быть числами Гиуги. Например, множители 60 равны 2, 2, 3 и 5, а 60 / 2<sup>1</sup> = 29, которое не делится на 2. Таким образом, 60 не является числом Гиуги. Это исключает квадраты простых чисел, но полупростые числа также не могут быть числами Гиуги. Если *n = p*<sub>1</sub> *p*<sub>2</sub>, где *p*<sub>1</sub> и *p*<sub>2</sub> – простые числа, то *p*<sub>1</sub><sup>2</sup> не делит *n*, и *p*<sub>2</sub><sup>2</sup> не делит *n*, следовательно, *p*<sub>1</sub> не будет делить *n/p*<sub>1</sub>, и, таким образом, *n* не является числом Гиуги. Все известные числа Гиуги четные. Если существует нечетное число Гиуги, оно должно быть произведением не менее 14 простых чисел. Неизвестно, существует ли бесконечное количество чисел Гиуги. Паоло П. Лава (2009) предположил, что числа Гиуги являются решениями дифференциального уравнения n' = n+1, где n' – арифметическая производная n. (Для чисел, свободных от квадратов, n' = a n + 1, поэтому n' = n+1 – это просто последнее уравнение в разделе «Определения», умноженное на n.)

Хосе М. Грау и Антонио Оллер Марсен показали, что целое число *n* является числом Гиуги тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет уравнению n' = a n + 1 для некоторого целого числа *a* > 0, где n' – арифметическая производная n. (Снова, n' = a n + 1 идентично третьему уравнению в разделе «Определения», умноженному на n.)