Кіріспе
Гиуга саны – n құрама саны, оның әр түрлі жай көбейткіштерінің әрқайсысы үшін pᵢ келесі теңдік орындалады: , немесе балама ретінде, оның әр түрлі жай көбейткіштерінің әрқайсысы үшін pᵢ келесі теңдік орындалады: . Гиуга сандары математик Джузеппе Гиуганың есімімен аталады және оның жай сан туралы болжамымен байланысты.
The Giuga numbers are named after the mathematician Giuseppe Giuga, and relate to his conjecture on primality.
Қасиеттері
Гиуга сандарының алғашқы көбейткіштері ерекше болуы керек. Егер -ды бөлетін болса, онда болады, мұнда -ы -ға бөлінеді. Сондықтан, -ы -ға бөлінбейді, демек -ы Гиуга саны бола алмайды. Осылайша, тек квадратсыз бүтін сандар ғана Гиуга сандары болуы мүмкін. Мысалы, 60 санының көбейткіштері 2, 2, 3 және 5, ал 60/2 - 1 = 29, бұл 2-ге бөлінбейді. Сондықтан, 60 - Гиуга саны емес. Бұл жай сандардың квадраттарын жоққа шығарады, бірақ жартылай жай сандар да Гиуга сандары бола алмайды. Егер болса, жай сандар болса, онда болады, сондықтан -ы -ға бөлінбейді, демек -ы Гиуга саны емес. Қазіргі кездегі барлық белгілі Гиуга сандары жұп сандар. Егер тақ Гиуга саны болса, онда ол кем дегенде 14 жай санның көбейтіндісі болуы керек. Гиуга сандарының шексіз көп болуы белгісіз. Паоло П. Лава (2009) Гиуга сандары n' = n+1 дифференциалдық теңдеуінің шешімдері болып табылады деп болжады, мұнда n' - n-нің арифметикалық туындысы. (Квадратсыз сандар үшін , сондықтан n' = n+1 - жоғарыдағы Анықтамалар бөліміндегі соңғы теңдеу, n-мен көбейтілген.) Хосе М. Грау және Антонио Олер Марсен n - n' = a n + 1 шартын қанағаттандырса ғана, n - Гиуга саны болады, мұнда n' - n-нің арифметикалық туындысы. (Тағы да, n' = a n + 1 - Анықтамалардағы үшінші теңдеумен бірдей, n-мен көбейтілген.)
, so will not divide , and thus is not a Giuga number. All known Giuga numbers are even. If an odd Giuga number exists, it must be the product of at least 14 primes. It is not known if there are infinitely many Giuga numbers. It has been conjectured by Paolo P. Lava (2009) that Giuga numbers are the solutions of the differential equation n' = n+1, where n' is the arithmetic derivative of n. (For square free numbers , , so n' = n+1 is just the last equation in the above section Definitions, multiplied by n.)
José Mª Grau and Antonio Oller Marcén have shown that an integer n is a Giuga number if and only if it satisfies n' = a n + 1 for some integer a > 0, where n' is the arithmetic derivative of n. (Again, n' = a n + 1 is identical to the third equation in Definitions, multiplied by n.)