Введение
Циклостационарный процесс – это сигнал, статистические свойства которого циклически меняются во времени. Циклостационарный процесс можно рассматривать как чередующиеся стационарные процессы. Например, максимальная суточная температура в Нью-Йорке может быть смоделирована как циклостационарный процесс: максимальная температура 21 июля статистически отличается от температуры 20 декабря; однако, можно с достаточной точностью считать, что температура 20 декабря в разные годы имеет одинаковые статистические характеристики. Таким образом, случайный процесс, состоящий из ежедневных максимальных температур, можно представить как 365 чередующихся стационарных процессов, каждый из которых принимает новое значение один раз в год.
Определение
Существуют два различных подхода к анализу циклостационарных процессов. Стохастический подход рассматривает измерения как реализацию абстрактной стохастической модели процесса. В качестве альтернативы, более эмпирический подход рассматривает измерения как единичный временной ряд данных, фактически измеренный на практике и, для некоторых аспектов теории, концептуально расширенный от наблюдаемого конечного интервала времени до бесконечного. Обе математические модели приводят к вероятностным теориям: абстрактной стохастической вероятности для модели стохастического процесса и более эмпирической вероятности, основанной на доле времени (ФОТ), для альтернативной модели. Вероятность ФОТ какого-либо события, связанного с временным рядом, определяется как доля времени, в течение которого это событие наблюдается на протяжении всего времени существования временного ряда. В обоих подходах процесс или временной ряд считается циклостационарным тогда и только тогда, когда его соответствующие распределения вероятностей периодически меняются во времени. Однако, в нестохастическом подходе к временным рядам существует альтернативное, но эквивалентное определение: временной ряд, не содержащий аддитивных синусоидальных компонент конечной мощности, считается демонстрирующим циклостационарность, если и только если существует нелинейное, инвариантное ко времени преобразование этого временного ряда, которое порождает аддитивные синусоидальные компоненты конечной (ненулевой) мощности.
Широко понятная циклостационарность
Важным частным случаем циклостационарных сигналов является тот, который проявляет циклостационарность во вторых порядковых статистиках (например, в функции автокорреляции). Такие сигналы называются широкополосными циклостационарными сигналами и аналогичны широкополосным стационарным процессам. Точное определение различается в зависимости от того, рассматривается ли сигнал как стохастический процесс или как детерминированный временной ряд.
Циклостационарные модели
Можно обобщить класс моделей авторегрессии и скользящего среднего для учета циклостационарности. Например, Траутман исследовал авторегрессии, в которых коэффициенты авторегрессии и дисперсия остатков не являются постоянными, а циклически меняются во времени. Его работа является продолжением ряда других исследований циклостационарных процессов в области анализа временных рядов.
Полициклостационарность
На практике возникают сигналы, демонстрирующие цикличность с более чем одним несоизмеримым периодом, и требуют обобщения теории циклостационарности. Такие сигналы называются полициклостационарными, если они демонстрируют конечное число несоизмеримых периодов, и почти циклостационарными, если они демонстрируют счетно бесконечное число таких периодов. Такие сигналы часто возникают в радиосвязи из-за множественных передач с различными частотами несущих синусоидальных волн и скоростями передачи цифровых символов. Теория была введена для стохастических процессов и далее развита для нестохастических временных рядов.
Высший порядок и строгий смысл циклостационаризма
Широко понятная теория временных рядов, проявляющих циклостационарность, полициклостационарность и почти циклостационарность, разработанная и развитая Гарднером, была также обобщена им в теорию моментов и кумулянтов временного и спектрального рядов высшего порядка, а также строгую теорию кумулятивных распределений вероятностей. Эта энциклопедическая книга всесторонне излагает все вышесказанное и представляет собой научный анализ основополагающих работ Гарднера и последующих исследований других авторов.