Рывок: Скорость изменения ускорения и её влияние.

Введение

Скорость изменения ускорения с течением времени

В физике, рывок (также известный как толчок) — это скорость изменения ускорения объекта во времени. Это векторная величина (обладающая как величиной, так и направлением). Рывок чаще всего обозначается символом j и выражается в м/с³ (единицы СИ) или стандартных ускорениях свободного падения в секунду (g₀/с).

Физиологические эффекты и восприятие человеком

Положение тела человека контролируется балансом сил антагонистических мышц. При уравновешивании заданной силы, например, при удержании веса, постцентральная извилина формирует контур управления для достижения желаемого равновесия. Если сила меняется слишком быстро, мышцы не успевают расслабиться или напрячься, что приводит к перерегулированию в ту или иную сторону и временной потере контроля. Время реакции на изменение силы зависит от физиологических ограничений и уровня внимания мозга: ожидаемое изменение стабилизируется быстрее, чем резкое уменьшение или увеличение нагрузки. Чтобы избежать потери контроля над движениями тела и травм у пассажиров транспортных средств, необходимо ограничивать воздействие как максимальной силы (ускорения), так и максимального рывка, поскольку для корректировки мышечного напряжения и адаптации к даже незначительным изменениям нагрузки требуется время. Резкие изменения ускорения могут приводить к травмам, таким как травма шеи (хлыстовая травма). Сила Абрахама-Лоренца – это сила отдачи ускоряющейся заряженной частицы, излучающей излучение. Эта сила пропорциональна рывку частицы и квадрату её заряда. Теория поглотителей Уилера-Фейнмана – более продвинутая теория, применимая в релятивистской и квантовой среде и учитывающая собственную энергию.

В идеальном окружении

Непрерывности в ускорении не возникают в реальных условиях из-за деформации, квантово-механических эффектов и других причин. Однако, скачкообразная неразрывность ускорения и, соответственно, неограниченный рывок возможны в идеализированной обстановке, например, для идеализированной точечной массы, движущейся по кусочно-гладкому, целому непрерывному пути. Скачкообразная неразрывность возникает в точках, где путь не является гладким. Экстраполируя из этих идеализированных условий, можно качественно описать, объяснить и предсказать эффекты рывка в реальных ситуациях. Скачкообразную неразрывность ускорения можно смоделировать с помощью дельта-функции Дирака в рывке, масштабированной до величины скачка. Интегрирование рывка по времени через дельта-функцию Дирака дает скачкообразную неразрывность. Например, рассмотрим путь вдоль дуги радиуса r, которая тангенциально соединяется с прямой линией. Весь путь непрерывен, и его части гладкие. Теперь предположим, что точечная частица движется с постоянной скоростью по этому пути, так что её тангенциальное ускорение равно нулю. Центростремительное ускорение, заданное формулой , направлено нормально к дуге и внутрь. Когда частица проходит соединение частей, она испытывает скачкообразную неразрывность ускорения, равную , и подвергается рывку, который можно смоделировать дельта-функцией Дирака, масштабированной до величины скачка. Для более наглядного примера скачкообразного ускорения рассмотрим идеальную систему пружины и массы, с массой, колеблющейся на идеализированной поверхности с трением. Сила, действующая на массу, равна векторной сумме силы пружины и силы кинетического трения. Когда скорость меняет знак (при максимальном и минимальном смещении), величина силы, действующей на массу, изменяется в два раза больше величины силы трения, поскольку сила пружины непрерывна, а сила трения меняет направление вместе со скоростью. Скачок ускорения равен силе, действующей на массу, деленной на массу. То есть, каждый раз, когда масса проходит через точку минимального или максимального смещения, она испытывает скачкообразное ускорение, а рывок содержит дельта-функцию Дирака до тех пор, пока масса не остановится. Сила статического трения адаптируется к остаточной силе пружины, устанавливая равновесие с нулевой результирующей силой и нулевой скоростью. Рассмотрим пример тормозящего и замедляющегося автомобиля. Тормозные колодки создают силы кинетического трения и постоянный тормозной момент на дисках (или барабанах) колес. Угловая скорость уменьшается линейно до нуля с постоянным угловым замедлением. Сила трения, момент и замедление автомобиля внезапно достигают нуля, что указывает на дельта-функцию Дирака в физическом рывке. Дельта-функция Дирака сглаживается реальной средой, кумулятивные эффекты которой аналогичны демпфированию физиологически воспринимаемого рывка. В этом примере не учитываются эффекты проскальзывания шин, проседания подвески, реального отклонения всех идеально жестких механизмов и т.д. Другой пример значительного рывка, аналогичный первому, – это перерезание веревки, на конце которой находится частица. Предположим, что частица колеблется по круговой траектории с ненулевым центростремительным ускорением. Когда веревка перерезана, траектория частицы резко меняется на прямолинейную, и сила, направленная внутрь, внезапно становится равной нулю. Представьте себе мономолекулярное волокно, разрезанное лазером; частица будет испытывать очень высокие скорости рывка из-за чрезвычайно короткого времени резания.

Discontinuities in acceleration do not occur in real world environments because of deformation, quantum mechanics effects, and other causes. However, a jump discontinuity in acceleration and, accordingly, unbounded jerk are feasible in an idealized setting, such as an idealized point mass moving along a piecewise smooth, whole continuous path. The jump discontinuity occurs at points where the path is not smooth. Extrapolating from these idealized settings, one can qualitatively describe, explain and predict the effects of jerk in real situations. Jump discontinuity in acceleration can be modeled using a Dirac delta function in jerk, scaled to the height of the jump. Integrating jerk over time across the Dirac delta yields the jump discontinuity. For example, consider a path along an arc of radius r, which tangentially connects to a straight line. The whole path is continuous, and its pieces are smooth. Now assume a point particle moves with constant speed along this path, so its tangential acceleration is zero. The centripetal acceleration given by is normal to the arc and inward. When the particle passes the connection of pieces, it experiences a jump discontinuity in acceleration given by , and it undergoes a jerk that can be modeled by a Dirac delta, scaled to the jump discontinuity. For a more tangible example of discontinuous acceleration, consider an ideal spring–mass system with the mass oscillating on an idealized surface with friction. The force on the mass is equal to the vector sum of the spring force and the kinetic frictional force. When the velocity changes sign (at the maximum and minimum displacements), the magnitude of the force on the mass changes by twice the magnitude of the frictional force, because the spring force is continuous and the frictional force reverses direction with velocity. The jump in acceleration equals the force on the mass divided by the mass. That is, each time the mass passes through a minimum or maximum displacement, the mass experiences a discontinuous acceleration, and the jerk contains a Dirac delta until the mass stops. The static friction force adapts to the residual spring force, establishing equilibrium with zero net force and zero velocity. Consider the example of a braking and decelerating car. The brake pads generate kinetic frictional forces and constant braking torques on the disks (or drums) of the wheels. Rotational velocity decreases linearly to zero with constant angular deceleration. The frictional force, torque, and car deceleration suddenly reach zero, which indicates a Dirac delta in physical jerk. The Dirac delta is smoothed down by the real environment, the cumulative effects of which are analogous to damping of the physiologically perceived jerk. This example neglects the effects of tire sliding, suspension dipping, real deflection of all ideally rigid mechanisms, etc. Another example of significant jerk, analogous to the first example, is the cutting of a rope with a particle on its end. Assume the particle is oscillating in a circular path with non zero centripetal acceleration. When the rope is cut, the particle's path changes abruptly to a straight path, and the force in the inward direction changes suddenly to zero. Imagine a monomolecular fiber cut by a laser; the particle would experience very high rates of jerk because of the extremely short cutting time.

В эластично деформируемых веществах

Эластично деформируемая масса деформируется под воздействием приложенной силы (или ускорения); деформация является функцией ее жесткости и величины силы. Если изменение силы происходит медленно, рывок мал, и распространение деформации считается мгновенным по сравнению с изменением ускорения. Деформированное тело ведет себя так, как будто находится в квазистатическом режиме, и только изменяющаяся сила (ненулевой рывок) может вызывать распространение механических волн (или электромагнитных волн для заряженной частицы); следовательно, при ненулевом и высоком рывке следует учитывать ударную волну и ее распространение в теле. Распространение деформации показано на графике "Схема волнового сжатия" в виде плоской волны сжатия, распространяющейся через эластично деформируемый материал. Также показаны, для углового рывка, волны деформации, распространяющиеся по круговой траектории, что вызывает касательные напряжения и, возможно, другие моды колебаний. Отражение волн от границ вызывает конструктивную интерференцию (не показана на рисунке), создавая напряжения, которые могут превысить предел прочности материала. Волны деформации могут вызывать вибрации, приводящие к шуму, износу и разрушению, особенно в случаях резонанса. На графике с заголовком "Стойка с массивным навершием" изображен блок, соединенный с эластичной стойкой и массивным навершием. Стойка изгибается при ускорении блока, а когда ускорение прекращается, навершие будет колебаться (затухая) в соответствии с жесткостью стойки. Можно утверждать, что больший (периодический) рывок может возбуждать колебания большей амплитуды, поскольку малые колебания затухают до того, как будут усилены ударной волной. Также можно утверждать, что больший рывок может увеличить вероятность возбуждения резонансного режима, поскольку более крупные волновые компоненты ударной волны имеют более высокие частоты и коэффициенты Фурье. Для уменьшения амплитуды возбужденных волн напряжения и вибраций можно ограничить рывок, формируя движение и делая ускорение непрерывным с максимально пологими склонами. Ввиду ограничений абстрактных моделей, алгоритмы снижения вибраций включают в себя высшие производные, такие как подергивание, или предполагают непрерывные режимы как для ускорения, так и для рывка. Одна из концепций ограничения рывка заключается в формировании ускорения и замедления синусоидально с нулевым ускорением между ними (см. график с заголовком "Профиль синусоидального ускорения"), что делает скорость синусоидальной с постоянной максимальной скоростью. Однако рывок останется разрывным в точках входа и выхода ускорения из нулевой фазы.

An elastically deformable mass deforms under an applied force (or acceleration); the deformation is a function of its stiffness and the magnitude of the force. If the change in force is slow, the jerk is small, and the propagation of deformation is considered instantaneous as compared to the change in acceleration. The distorted body acts as if it were in a quasistatic regime, and only a changing force (nonzero jerk) can cause propagation of mechanical waves (or electromagnetic waves for a charged particle); therefore, for nonzero to high jerk, a shock wave and its propagation through the body should be considered. The propagation of deformation is shown in the graphic "Compression wave patterns" as a compressional plane wave through an elastically deformable material. Also shown, for angular jerk, are the deformation waves propagating in a circular pattern, which causes shear stress and possibly other modes of vibration. The reflection of waves along the boundaries cause constructive interference patterns (not pictured), producing stresses that may exceed the material's limits. The deformation waves may cause vibrations, which can lead to noise, wear, and failure, especially in cases of resonance. The graphic captioned "Pole with massive top" shows a block connected to an elastic pole and a massive top. The pole bends when the block accelerates, and when the acceleration stops, the top will oscillate (damped) under the regime of pole stiffness. One could argue that a greater (periodic) jerk might excite a larger amplitude of oscillation because small oscillations are damped before reinforcement by a shock wave. One can also argue that a larger jerk might increase the probability of exciting a resonant mode because the larger wave components of the shock wave have higher frequencies and Fourier coefficients. To reduce the amplitude of excited stress waves and vibrations, one can limit jerk by shaping motion and making the acceleration continuous with slopes as flat as possible. Due to limitations of abstract models, algorithms for reducing vibrations include higher derivatives, such as jounce, or suggest continuous regimes for both acceleration and jerk. One concept for limiting jerk is to shape acceleration and deceleration sinusoidally with zero acceleration in between (see graphic captioned "Sinusoidal acceleration profile"), making the speed appear sinusoidal with constant maximum speed. The jerk, however, will remain discontinuous at the points where acceleration enters and leaves the zero phases.

В геометрическом проектировании дорог и путей

Дороги и железнодорожные пути спроектированы для ограничения рывка, вызванного изменениями их кривизны. Нормы проектирования для высокоскоростных железных дорог варьируются от 0,2 м/с³ до 0,6 м/с³. Переходные кривые ограничивают рывок при переходе от прямой к кривой и наоборот. Следует помнить, что при движении с постоянной скоростью по дуге ускорение равно нулю в касательном направлении и отлично от нуля во внутреннем нормальном направлении. Переходные кривые постепенно увеличивают кривизну и, следовательно, центростремительное ускорение. Спираль Эйлера, теоретически оптимальная переходная кривая, линейно увеличивает центростремительное ускорение и обеспечивает постоянный рывок (см. график). В реальных условиях плоскость пути наклоняется (имеет уклон) вдоль изогнутых участков. Наклон вызывает вертикальное ускорение, что необходимо учитывать при проектировании для снижения износа пути и откосов. Венская кривая – запатентованная кривая, разработанная для минимизации этого износа. Американские горки также проектируются с использованием переходных кривых для ограничения рывка. При входе в петлю значения ускорения могут достигать примерно 4g (40 м/с²), и движение в условиях такого высокого ускорения возможно только благодаря переходным кривым. S-образные кривые, такие как восьмерки, также используют переходные кривые для обеспечения плавности хода.

В производстве

Рывок является важным фактором, который необходимо учитывать в производственных процессах. Резкие изменения ускорения режущего инструмента могут привести к преждевременному износу инструмента и неравномерности реза; следовательно, современные контроллеры движения включают функции ограничения рывка. В машиностроении, помимо скорости и ускорения, рывок учитывается при разработке профилей кулачков из-за трибологических последствий и способности исполнительного механизма следовать профилю кулачка без вибрации. Рывок часто принимается во внимание, когда важна минимизация вибраций. Устройство для измерения рывка называется "джеркометром".

Другие деривативы

Дальнейшие производные по времени также получили названия: snap или jounce (четвёртая производная), crackle (пятая производная) и pop (шестая производная). Однако производные координаты по времени более высокого порядка, чем четвёртая, встречаются редко. Термины snap, crackle и pop для четвёртой, пятой и шестой производных координаты были вдохновлены рекламными персонажами Snap, Crackle и Pop.