Введение
Набор предложений в формальном языке.
В математической логике теория (также называемая формальной теорией) представляет собой набор предложений в формальном языке. В большинстве случаев дедуктивная система сначала определяется из контекста, после чего элемент дедуктивно замкнутой теории называется теоремой этой теории. Во многих дедуктивных системах обычно существует подмножество, называемое "множеством аксиом" теории, и в этом случае дедуктивная система также называется "аксиоматической системой". По определению, каждая аксиома автоматически является теоремой. Теория первого порядка – это набор предложений первого порядка (теорем), рекурсивно получаемых правилами вывода системы, применяемыми к множеству аксиом.
Общие теории (выраженные в формальном языке)
При определении теорий в фундаментальных целях необходимо проявлять особую осторожность, поскольку обычный язык теории множеств может оказаться непригодным. Построение теории начинается с указания определённого непустого концептуального класса, элементы которого называются высказываниями. Эти исходные высказывания часто называют примитивными элементами или элементарными высказываниями теории, чтобы отличать их от других высказываний, которые могут быть выведены из них. Теория – это концептуальный класс, состоящий из определённых этих элементарных высказываний. Элементарные высказывания, принадлежащие теории, называются элементарными теоремами этой теории и считаются истинными. Таким образом, теорию можно рассматривать как способ обозначения подмножества, содержащего только истинные высказывания. Этот общий способ определения теории подразумевает, что истинность любого из её элементарных высказываний не может быть установлена без обращения к самой теории. Следовательно, одно и то же элементарное высказывание может быть истинным относительно одной теории, но ложным относительно другой. Это напоминает ситуацию в обычном языке, когда высказывания вроде "Он честный человек" нельзя оценить как истинные или ложные, не интерпретировав, кто именно подразумевается под "он", и, более того, что понимается под "честным человеком" в рамках данной теории.
Подтеории и расширения
Теория является подтеорией теории, если множество её аксиом является подмножеством множества аксиом . Если множество аксиом является подмножеством множества аксиом , то называется расширением или супертеорией .
Дедуктивные теории
Теория называется дедуктивной, если она представляет собой индуктивный класс, то есть её содержание основано на некоторой формальной дедуктивной системе, и некоторые из её элементарных утверждений принимаются в качестве аксиом. В дедуктивной теории любое предложение, являющееся логическим следствием одной или нескольких аксиом, также является предложением этой теории. В других логиках, таких как логика второго порядка, существуют синтаксически непротиворечивые теории, которые не имеют модели, например, ω-непротиворечивые теории. Полная непротиворечивая теория (или просто полная теория) – это непротиворечивая теория, такая, что для каждого предложения φ в её языке либо φ доказуема из этой теории, либо множество {φ} является противоречивым. Для теорий, замкнутых относительно логического следования, это означает, что для каждого предложения φ либо φ, либо его отрицание содержится в теории. Неполная теория – это непротиворечивая теория, которая не является полной. (см. также ω-непротиворечивая теория для более сильного понятия непротиворечивости.)
Интерпретация теории
Интерпретация теории — это связь между теорией и областью исследования, при которой существует соответствие «многие к одному» между определенными элементарными утверждениями теории и определенными утверждениями, относящимися к этой области исследования. Если каждое элементарное утверждение теории имеет соответствующее утверждение, то это полная интерпретация, иначе — частичная интерпретация.
Теории, связанные со структурой
Каждая структура имеет несколько связанных с ней теорий. Полная теория структуры А – это множество всех предложений первого порядка над сигнатурой А, которые выполняются структурой А. Она обозначается Th(A). В более общем случае, теория K, класса σ-структур, – это множество всех предложений первого порядка σ, которые выполняются всеми структурами в K, и обозначается Th(K). Очевидно, что Th(A) = Th({A}). Эти понятия также могут быть определены относительно других логик. Для каждой σ-структуры A существует несколько связанных теорий в расширенной сигнатуре σ', которая расширяет σ, добавляя один новый константный символ для каждого элемента области определения A. (Если новые константные символы отождествляются с элементами A, которые они представляют, то σ' можно принять за σ ∪ A.) Кардинальность σ' таким образом равна максимуму из кардинальности σ и кардинальности A. Диаграмма A состоит из всех атомарных или отрицаний атомарных предложений σ', которые выполняются структурой A, и обозначается diag(A). Положительная диаграмма A – это множество всех атомарных предложений σ', которые выполняются структурой A. Она обозначается diag+(A). Элементарная диаграмма A – это множество eldiag(A) всех предложений первого порядка σ', которые выполняются структурой A, или, эквивалентно, полная (первого порядка) теория естественного расширения A до сигнатуры σ'.
Теории первого порядка
Теория первого порядка — это множество предложений в формальном языке первого порядка.
Выводка в теории первого порядка
Существует множество формальных систем вывода ("доказательства") для логики первого порядка. К ним относятся дедуктивные системы в стиле Гильберта, натуральная дедукция, исчисление секвенций, метод таблиц и метод резолюций.
Синтаксическое следствие в теории первого порядка
Формула А является синтаксическим следствием теории первого порядка, если существует вывод формулы А, использующий только формулы из как нелогические аксиомы. Такая формула А также называется теоремой теории . Обозначение "" указывает, что А является теоремой теории .
Интерпретация теории первого порядка
Интерпретация теории первого порядка предоставляет семантику для формул этой теории. Интерпретация считается удовлетворяющей формулу, если эта формула истинна в данной интерпретации. Модель теории первого порядка – это интерпретация, в которой удовлетворены все формулы теории.
Теории первого порядка с идентичностью
Теория первого порядка является теорией первого порядка с тождеством, если она включает символ отношения тождества "=" и схемы аксиом рефлексивности и подстановки для этого символа.
Примеры
Один из способов задать теорию — определить набор аксиом на некотором языке. Теория может включать в себя только эти аксиомы или их логические и доказуемые следствия, по желанию. Теории, полученные таким образом, включают ZFC и арифметику Пеано. Другой способ задать теорию — начать со структуры и считать теорией множество предложений, истинных в этой структуре. Это метод построения полных теорий семантическим путем, примерами являются множество истинных предложений в структуре (N, +, ×, 0, 1, =), где N — множество натуральных чисел, и множество истинных предложений в структуре (R, +, ×, 0, 1, =), где R — множество действительных чисел. Первая из них, называемая теорией истинной арифметики, не может быть представлена как множество логических следствий какого-либо счетного набора аксиом. Тарски показал, что теория (R, +, ×, 0, 1, =) является разрешимой; это теория вещественно замкнутых полей (см. Разрешимость теорий первого порядка для вещественных чисел для получения дополнительной информации).