Метод конечных элементов: основы и применение.

Введение

Метод конечных элементов (FEM) — мощный метод, первоначально разработанный для численного решения сложных задач в области строительной механики, и он по-прежнему является предпочтительным методом для анализа сложных систем. В методе конечных элементов (FEM) конструкция моделируется набором подходящих конечных элементов, соединенных в дискретных точках, называемых узлами. Элементы могут обладать физическими свойствами, такими как толщина, коэффициент теплового расширения, плотность, модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона.

История

Происхождение метода конечных элементов можно проследить до матричного анализа конструкций, где была введена концепция матричного подхода, основанного на перемещениях или жесткостях. Концепции конечных элементов были разработаны на основе инженерных методов в 1950-х годах. Метод конечных элементов получил существенный импульс в 1960-х и 1970-х годах благодаря работам Джона Аргириса и его коллег в Университете Штутгарта, Рэя В. Клоу в Калифорнийском университете в Беркли, Ольгиерда Зенкевича и его коллег Эрнеста Хинтона и Брюса Айронса в Университете Суонси, Филиппа Г. Сиарле в Университете Парижа, а также Ричарда Галлахера и его коллег в Корнелльском университете. Оригинальные работы, такие как работы Аргириса и Клоу, стали основой для современных методов структурного анализа с использованием конечных элементов. Прямые или криволинейные одномерные элементы, обладающие физическими свойствами, такими как осевая, изгибная и крутильная жесткости. Этот тип элементов подходит для моделирования тросов, распорок, ферм, балок, усиливающих элементов, решеток и каркасов. Прямые элементы обычно имеют два узла, по одному на каждом конце, в то время как криволинейные элементы требуют как минимум три узла, включая конечные узлы. Элементы располагаются по центроидальной оси реальных элементов. Двумерные элементы, воспринимающие только плоские силы посредством работы мембраны (плоскостное напряжение, плоская деформация), и пластины, воспринимающие поперечные нагрузки посредством поперечного сдвига и изгиба (пластины и оболочки). Они могут иметь различные формы, такие как плоские или криволинейные треугольники и четырехугольники. Узлы обычно располагаются в углах элементов, а при необходимости повышения точности дополнительные узлы могут быть размещены вдоль краев элемента или даже внутри него. Элементы располагаются на средней поверхности фактической толщины слоя. Элементы тороидальной формы для задач с осевой симметрией, таких как мембраны, толстые пластины, оболочки и твердые тела. Поперечное сечение элементов аналогично ранее описанным типам: одномерное для тонких пластин и оболочек, а двумерное для твердых тел, толстых пластин и оболочек. Трехмерные элементы для моделирования трехмерных тел, таких как детали машин, плотины, насыпи или массивы грунта. Распространенные формы элементов включают тетраэдры и гексаэдры. Узлы располагаются в вершинах и, возможно, на гранях элемента или внутри него.

The origin of finite method can be traced to the matrix analysis of structures where the concept of a displacement or stiffness matrix approach was introduced. Finite element concepts were developed based on engineering methods in 1950s. The finite element method obtained its real impetus in the 1960s and 1970s by John Argyris, and co workers; at the University of Stuttgart, by Ray W. Clough; at the University of California, Berkeley, by Olgierd Zienkiewicz, and co workers Ernest Hinton, Bruce Irons; at the University of Swansea, by Philippe G. Ciarlet; at the University of Paris; at Cornell University, by Richard Gallagher and co workers. The original works such as those by Argyris and Clough became the foundation for today’s finite element structural analysis methods. Straight or curved one dimensional elements with physical properties such as axial, bending, and torsional stiffnesses. This type of element is suitable for modeling cables, braces, trusses, beams, stiffeners, grids and frames. Straight elements usually have two nodes, one at each end, while curved elements will need at least three nodes including the end nodes. The elements are positioned at the centroidal axis of the actual members. Two dimensional elements that resist only in plane forces by membrane action (plane stress, plane strain), and plates that resist transverse loads by transverse shear and bending action (plates and shells). They may have a variety of shapes such as flat or curved triangles and quadrilaterals. Nodes are usually placed at the element corners, and if needed for higher accuracy, additional nodes can be placed along the element edges or even within the element. The elements are positioned at the mid surface of the actual layer thickness. Torus shaped elements for axisymmetric problems such as membranes, thick plates, shells, and solids. The cross section of the elements are similar to the previously described types: one dimensional for thin plates and shells, and two dimensional for solids, thick plates and shells. Three dimensional elements for modeling 3 D solids such as machine components, dams, embankments or soil masses. Common element shapes include tetrahedrals and hexahedrals. Nodes are placed at the vertexes and possibly in the element faces or within the element.

Соединение элементов и смещение

Элементы соединены между собой только во внешних узлах, и в совокупности должны максимально точно покрывать всю область. Узлы имеют нодальные (векторные) перемещения или степени свободы, которые могут включать в себя поступательные движения, вращения, а также, для специальных задач, производные перемещений более высокого порядка. При перемещении узлов, они вовлекают элементы в движение определенным образом, зависящим от формулировки элемента. Иными словами, перемещения любой точки внутри элемента интерполируются на основе перемещений в узлах, и это является основной причиной приближенного характера решения.