Шектеулі элементтер әдісі: негіздері мен қолданылуы

Кіріспе

Шекті элементтер әдісі (FEM) – бастапқыда құрылымдық механикадағы күрделі мәселелерді сандық шешу үшін әзірленген қуатты техника, және ол күрделі жүйелер үшін басым әдіс болып табылады. FEM-де құрылымдық жүйе дискретті нүктелерде – түйіндерде – біріктірілген тиісті шекті элементтер жиынтығы арқылы модельделеді. Элементтердің физикалық қасиеттері болуы мүмкін, мысалы, қалыңдық, жылулық кеңею коэффициенті, тығыздық, Янг модулі, серпімділік модулі және Пуассон коэффициенті.

Тарих

Шекті әдістің бастауы құрылымдардың матрицалық талдауына қатысты, онда орын ауыстыру немесе қатаңдық матрицасы тәсілінің ұғымы енгізілді. 1950 жылдары инженерлік әдістер негізінде шекті элементтер концепциялары дамыды. Шекті элементтер әдісі 1960 және 1970 жылдары Джон Аргирис және оның әріптестері; Штутгарт университетінде, Рей У. Клоу; Берклидегі Калифорния университетінде, Ольгиерд Зиенкиевич және оның әріптестері Эрнест Хинтон, Брюс Айронс; Суонси университетінде, Филипп Г. Сиарле; Париж университетінде, Корнелл университетінде, Ричард Галлагер және оның әріптестері еңбегімен үлкен серпіліс алды. Аргирис және Клоу сияқты алғашқы жұмыстар бүгінгі шекті элементтік құрылымдық талдау әдістерінің негізін қалады. Аксиалдық, иілу және бұрылу қатаңдығы сияқты физикалық қасиеттері бар түзу немесе қисық бір өлшемді элементтер. Бұл типтегі элементтер кабельдерді, тіреулерді, фермаларды, балкаларды, нығайтқыштарды, торларды және каркастарды модельдеуге қолайлы. Түзу элементтер әдетте екі түйінге ие, біреуі әр ұшында, ал қисық элементтерге кемінде үш түйін қажет, соның ішінде ұшқыш түйіндер де. Элементтер нақты мүшелердің центроидтық осінде орналасады. Жазықтықтағы күштерге (жазықтық кернеу, жазықтық деформация) мембраналық әрекет арқылы ғана қарсы тұратын екі өлшемді элементтер және көлденең жүктемелерге көлденең қиып және иілу әрекеті арқылы қарсы тұратын пластиналар (пластиналар мен қабықтар). Олардың пішіні әртүрлі болуы мүмкін, мысалы, жазық немесе иілген үшбұрыштар және төртбұрыштар. Түйіндер әдетте элементтердің бұрыштарында орналастырылады, ал қажет болған жағдайда, жоғары дәлдік үшін қосымша түйіндер элементтің жиектері бойымен немесе тіпті элементтің ішінде орналастырылуы мүмкін. Элементтер нақты қабаттың қалыңдығының ортаңғы бетінде орналасады. Мембраналар, қалың пластиналар, қабықтар және қатты денелер сияқты осьтік симметриялы мәселелер үшін торус пішіндес элементтер. Элементтердің қимасы бұрын сипатталған типтерге ұқсас: жұқа пластиналар мен қабықтар үшін бір өлшемді, ал қатты денелер, қалың пластиналар мен қабықтар үшін екі өлшемді. Машина бөліктері, тоғандар, насиптер немесе топырақ массалары сияқты 3D қатты денелерді модельдеу үшін үш өлшемді элементтер. Көбінесе қолданылатын элемент пішіндеріне тетраэдрлер мен гексаэдрлер жатады. Түйіндер төбелерде және мүмкін болса, элемент беттерінде немесе элементтің ішінде орналастырылады.

The origin of finite method can be traced to the matrix analysis of structures where the concept of a displacement or stiffness matrix approach was introduced. Finite element concepts were developed based on engineering methods in 1950s. The finite element method obtained its real impetus in the 1960s and 1970s by John Argyris, and co workers; at the University of Stuttgart, by Ray W. Clough; at the University of California, Berkeley, by Olgierd Zienkiewicz, and co workers Ernest Hinton, Bruce Irons; at the University of Swansea, by Philippe G. Ciarlet; at the University of Paris; at Cornell University, by Richard Gallagher and co workers. The original works such as those by Argyris and Clough became the foundation for today’s finite element structural analysis methods. Straight or curved one dimensional elements with physical properties such as axial, bending, and torsional stiffnesses. This type of element is suitable for modeling cables, braces, trusses, beams, stiffeners, grids and frames. Straight elements usually have two nodes, one at each end, while curved elements will need at least three nodes including the end nodes. The elements are positioned at the centroidal axis of the actual members. Two dimensional elements that resist only in plane forces by membrane action (plane stress, plane strain), and plates that resist transverse loads by transverse shear and bending action (plates and shells). They may have a variety of shapes such as flat or curved triangles and quadrilaterals. Nodes are usually placed at the element corners, and if needed for higher accuracy, additional nodes can be placed along the element edges or even within the element. The elements are positioned at the mid surface of the actual layer thickness. Torus shaped elements for axisymmetric problems such as membranes, thick plates, shells, and solids. The cross section of the elements are similar to the previously described types: one dimensional for thin plates and shells, and two dimensional for solids, thick plates and shells. Three dimensional elements for modeling 3 D solids such as machine components, dams, embankments or soil masses. Common element shapes include tetrahedrals and hexahedrals. Nodes are placed at the vertexes and possibly in the element faces or within the element.

Элементтердің өзара байланысы және орын ауыстыруы

Элементтер сыртқы түйіндерде ғана өзара байланысты, және олар бүкіл доменді мүмкіндігінше дәл жабуы тиіс. Түйіндерде түйіндік (векторлық) орын ауыстырулар немесе еркіндік дәрежелері болады, оларға ауыстырулар, бұрылулар және ерекше жағдайларда орын ауыстырулардың жоғары ретті туындылары кіруі мүмкін. Түйіндер орын ауыстырғанда, олар элементтерді элементтің формуласымен анықталған белгілі бір тәсілмен иеленеді. Яғни, элемент ішіндегі кез келген нүктенің орын ауыстыруы түйіндік орын ауыстырулардан интерполяцияланады, және осының өзі шешімнің шамаменді болуының басты себебі.