Введение
Теорема об электрических сетях. Теорема реактивности Фостера является важной теоремой в области анализа и синтеза электрических цепей. Теорема утверждает, что реактивное сопротивление пассивной, безубыточной двухполюсной (однопортовой) цепи всегда строго монотонно возрастает с частотой. Очевидно, что реактивное сопротивление индукторов и конденсаторов по отдельности увеличивается с частотой, и на этой основе можно построить доказательство для пассивных безубыточных цепей в целом. Доказательство теоремы было представлено Рональдом Мартином Фостером в 1924 году, хотя этот принцип был опубликован ранее коллегами Фостера в компании American Telephone & Telegraph. Теорему можно распространить на проводимости и обобщающее понятие импедансов. Следствием теоремы Фостера является то, что нули и полюса реактивного сопротивления должны чередоваться в зависимости от частоты. Фостер использовал это свойство для разработки двух канонических форм для реализации этих цепей. Работа Фостера стала важной отправной точкой для развития синтеза цепей. Возможно построение цепей, не удовлетворяющих теореме Фостера, с использованием активных компонентов, таких как усилители. Они могут генерировать импеданс, эквивалентный отрицательной индуктивности или ёмкости. Преобразователь отрицательного импеданса является примером такой схемы.
Foster's reactance theorem is an important theorem in the fields of electrical network analysis and synthesis. The theorem states that the reactance of a passive, lossless two terminal (one port) network always strictly monotonically increases with frequency. It is easily seen that the reactances of inductors and capacitors individually increase with frequency and from that basis a proof for passive lossless networks generally can be constructed. The proof of the theorem was presented by Ronald Martin Foster in 1924, although the principle had been published earlier by Foster's colleagues at American Telephone & Telegraph. The theorem can be extended to admittances and the encompassing concept of immittances. A consequence of Foster's theorem is that zeros and poles of the reactance must alternate with frequency. Foster used this property to develop two canonical forms for realising these networks. Foster's work was an important starting point for the development of network synthesis. It is possible to construct non Foster networks using active components such as amplifiers. These can generate an impedance equivalent to a negative inductance or capacitance. The negative impedance converter is an example of such a circuit.
Примеры
Следующие примеры иллюстрируют эту теорему на ряде простых схем.
Неподдерживаемые сети
Сеть Фостера должна быть пассивной, поэтому активная сеть, содержащая источник питания, может не удовлетворять теореме Фостера. Такие сети называются не-фостеровскими. В частности, схемы, содержащие усилители с положительной обратной связью, могут иметь реактивное сопротивление, уменьшающееся с частотой. Например, можно создать отрицательную ёмкость и индуктивность с помощью схем преобразователя отрицательного импеданса. Эти схемы будут иметь функцию иммиттанса с фазой ±π/2, как у положительного реактивного сопротивления, но с отрицательным наклоном амплитуды реактивного сопротивления в зависимости от частоты. Они представляют интерес, поскольку способны выполнять задачи, недоступные сетям Фостера. Например, обычные пассивные сети согласования импедансов Фостера могут согласовывать импеданс антенны с линией передачи только на дискретных частотах, что ограничивает полосу пропускания антенны. Не-фостеровская сеть может согласовывать антенну в непрерывном диапазоне частот. Теорема была впервые опубликована Кэмпбеллом в 1922 году, но без доказательства. Теорема сразу же нашла применение в разработке фильтров и, вместе с доказательством, заметно представлена в основополагающей работе Зобеля 1923 года, обобщающей современное состояние проектирования фильтров. Фостер опубликовал свою работу в следующем году, включив в неё свои канонические формы реализации. Кауэр в Германии осознал важность работы Фостера и использовал её в качестве основы для синтеза сетей. Среди многочисленных инноваций Кауэра было расширение работы Фостера на все сети двухэлементного типа после обнаружения изоморфизма между ними. Кауэр интересовался поиском необходимого и достаточного условия реализуемости рациональной однопортовой сети по её полиномиальной функции – условие, известное сегодня как условие положительной вещественности, – и обратной задачей, заключающейся в определении эквивалентности сетей, то есть наличия у них одной и той же полиномиальной функции. Обе эти задачи были важными в теории сетей и проектировании фильтров. Сети Фостера – это лишь подмножество реализуемых сетей.