Введение

Тест Койпера используется в статистике для проверки, подтверждаются ли данные из выборки заданным распределением или семейством распределений. Он назван в честь голландского математика Николааса Койпера. Тест Койпера тесно связан с более известным тестом Колмогорова — Смирнова (или K S тестом, как его часто называют). Как и в тесте KS, статистики расхождения D+ и D− представляют собой абсолютные значения наибольшей положительной и наибольшей отрицательной разницы между сравниваемыми кумулятивными функциями распределения. Особенность теста Койпера заключается в использовании величины D+ + D− в качестве тестовой статистики. Это небольшое изменение делает тест Койпера одинаково чувствительным как в хвостах распределения, так и в медиане, а также инвариантным относительно циклических преобразований независимой переменной. Тест Андерсона — Дарлинга также обеспечивает одинаковую чувствительность в хвостах и медиане, но не обладает циклической инвариантностью. Эта инвариантность к циклическим преобразованиям делает тест Койпера незаменимым при проверке циклических изменений, таких как сезонные, дневные или часовые вариации, и в целом для оценки соответствия и различий между круговыми распределениями вероятностей.

Пример

Мы могли бы проверить гипотезу о том, что компьютеры выходят из строя чаще в определенное время года, чем в другое. Для этого мы собрали бы даты, когда компьютеры из тестового набора вышли из строя, и построили бы эмпирическую функцию распределения. Нулевая гипотеза состоит в том, что отказы распределены равномерно. Статистика Куйпера не изменяется при изменении начала года и не требует разбиения отказов по месяцам или подобным категориям. Другой статистический критерий, обладающий этим свойством, – статистика Уотсона, связанная с тестом Крамера — фон Мизеса. Однако, если отказы происходят преимущественно в выходные дни, многие тесты на равномерное распределение, такие как KS и Куйпера, могут это пропустить, поскольку выходные дни распределены в течение всего года. Эта неспособность различать распределения, имеющие гребенчатую форму, от непрерывных равномерных распределений является ключевой проблемой для всех статистических показателей, основанных на варианте теста KS. Тест Куйпера, применяемый ко времени событий по модулю одной недели, способен обнаружить такую закономерность. Использование времен событий, модулированных с помощью KS-теста, может приводить к различным результатам в зависимости от фазировки данных. В этом примере KS-тест может обнаружить неравномерность, если данные начинаются с субботы, но не сможет обнаружить ее, если неделя начинается со среды.