Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Дискретное распределение вероятности
Discrete probability distribution
В теории вероятностей и статистике гипергеометрическое распределение — это дискретное распределение вероятностей, описывающее вероятность получения успехов (случайных выборок, в которых выбранный объект обладает заданным признаком) в выборках без возвращения из конечной совокупности размером N, содержащей ровно K объектов с этим признаком, при этом каждая выборка является либо успехом, либо неудачей. В отличие от него, биномиальное распределение описывает вероятность успехов в выборках с возвращением.
In probability theory and statistics, the hypergeometric distribution is a discrete probability distribution that describes the probability of successes (random draws for which the object drawn has a specified feature) in draws, without replacement, from a finite population of size that contains exactly objects with that feature, wherein each draw is either a success or a failure. In contrast, the binomial distribution describes the probability of successes in draws with replacement.
Порядок розыгрышей
Вероятность вытащить любой набор зеленых и красных шариков (гипергеометрическое распределение) зависит только от количества зеленых и красных шариков, а не от порядка, в котором они появляются; то есть это взаимозаменяемое распределение. Следовательно, вероятность вытащить зеленый шарик в данном розыгрыше равна:
The probability of drawing any set of green and red marbles (the hypergeometric distribution) depends only on the numbers of green and red marbles, not on the order in which they appear; i. e., it is an exchangeable distribution. As a result, the probability of drawing a green marble in the draw is
Это априорная вероятность – то есть она основана на незнании результатов предыдущих розыгрышей.
This is an ex ante probability—that is, it is based on not knowing the results of the previous draws.
Гипергеометрическое испытание
Гипергеометрический тест использует гипергеометрическое распределение для оценки статистической значимости получения выборки, содержащей определенное количество успехов (из общего числа извлечений) из популяции размером, содержащей успехов. В тесте на избыточное представление успехов в выборке гипергеометрическое p-значение рассчитывается как вероятность случайного извлечения или более успехов из популяции при общем числе извлечений. В тесте на недостаточное представление p-значение представляет собой вероятность случайного извлечения или менее успехов. Тест, основанный на гипергеометрическом распределении (гипергеометрический тест), идентичен соответствующей односторонней версии точного теста Фишера. В свою очередь, p-значение двустороннего точного теста Фишера можно рассчитать как сумму двух соответствующих гипергеометрических тестов (дополнительную информацию см. в). Этот тест часто используется для выявления подпопуляций, которые представлены в выборке в избытке или недостаточно. Этот тест имеет широкий спектр применения. Например, маркетинговая группа может использовать его для анализа своей клиентской базы, проверяя набор известных клиентов на предмет чрезмерного представления различных демографических подгрупп (например, женщин, людей младше 30 лет).
The hypergeometric test uses the hypergeometric distribution to measure the statistical significance of having drawn a sample consisting of a specific number of successes (out of total draws) from a population of size containing successes. In a test for over representation of successes in the sample, the hypergeometric p value is calculated as the probability of randomly drawing or more successes from the population in total draws. In a test for under representation, the p value is the probability of randomly drawing or fewer successes. The test based on the hypergeometric distribution (hypergeometric test) is identical to the corresponding one tailed version of Fisher's exact test. Reciprocally, the p value of a two sided Fisher's exact test can be calculated as the sum of two appropriate hypergeometric tests (for more information see). The test is often used to identify which sub populations are over or under represented in a sample. This test has a wide range of applications. For example, a marketing group could use the test to understand their customer base by testing a set of known customers for over representation of various demographic subgroups (e. g., women, people under 30).
Многомерное гипергеометрическое распределение
Модель урны с зелеными и красными шариками может быть расширена на случай, когда в урне более двух цветов шариков. Если в урне содержится Ki шариков цвета i, и вы извлекаете n шариков случайным образом без возвращения, то число шариков каждого цвета в выборке (k1, k2, ..., kc) имеет мультивариантное гипергеометрическое распределение:
The model of an urn with green and red marbles can be extended to the case where there are more than two colors of marbles. If there are Ki marbles of color i in the urn and you take n marbles at random without replacement, then the number of marbles of each color in the sample (k1, k2, , kc) has the multivariate hypergeometric distribution:
Это распределение имеет ту же связь с мультиномиальным распределением, что и гипергеометрическое распределение с биномиальным распределением – мультиномиальное распределение описывает выборку с возвращением, а мультивариантное гипергеометрическое – выборку без возвращения. Свойства этого распределения приведены в соседней таблице, где c – количество различных цветов, а N – общее количество шариков в урне.
This has the same relationship to the multinomial distribution that the hypergeometric distribution has to the binomial distribution—the multinomial distribution is the "with replacement" distribution and the multivariate hypergeometric is the "without replacement" distribution. The properties of this distribution are given in the adjacent table, where c is the number of different colors and is the total number of marbles in the urn.
Пример
Предположим, что в урне 5 черных, 10 белых и 15 красных шариков. Если выбрать шесть шариков без возвращения, то вероятность того, что будет выбрано ровно два шарика каждого цвета, равна
Suppose there are 5 black, 10 white, and 15 red marbles in an urn. If six marbles are chosen without replacement, the probability that exactly two of each color are chosen is
Заявка на Техасский Холдем покер
В покере холдем игроки составляют лучшую возможную комбинацию, объединяя две карты на руке с пятью общими картами, которые в итоге открываются на столе. В колоде 52 карты, по 13 карт каждой масти. Для примера предположим, что у игрока на руке две трефы, и на столе открыты три карты, две из которых также трефовые. Игрок хочет узнать вероятность того, что одна из следующих двух открываемых карт будет трефой, чтобы собрать флеш. (Обратите внимание, что вероятность, рассчитанная в этом примере, предполагает отсутствие информации о картах у других игроков; однако опытные игроки могут учитывать поведение других игроков при ставках – пас, колл, рейз или фолд – при оценке вероятности для каждого сценария. Строго говоря, описанный здесь подход к расчету вероятности успеха точен в сценарии с одним игроком за столом; в многопользовательской игре эта вероятность может быть несколько скорректирована в зависимости от игры оппонентов.) На столе и в руке уже показаны 4 трефы, следовательно, в колоде осталось 9 невидимых треф. Всего открыто 5 карт (2 на руке и 3 на столе), значит, в колоде осталось невидимых карт. Вероятность того, что одна из следующих двух открываемых карт будет трефой, можно рассчитать, используя гипергеометрическое распределение с и (около 31,64%).
In hold'em poker players make the best hand they can combining the two cards in their hand with the 5 cards (community cards) eventually turned up on the table. The deck has 52 and there are 13 of each suit. For this example assume a player has 2 clubs in the hand and there are 3 cards showing on the table, 2 of which are also clubs. The player would like to know the probability of one of the next 2 cards to be shown being a club to complete the flush. (Note that the probability calculated in this example assumes no information is known about the cards in the other players' hands; however, experienced poker players may consider how the other players place their bets (check, call, raise, or fold) in considering the probability for each scenario. Strictly speaking, the approach to calculating success probabilities outlined here is accurate in a scenario where there is just one player at the table; in a multiplayer game this probability might be adjusted somewhat based on the betting play of the opponents.) There are 4 clubs showing so there are 9 clubs still unseen. There are 5 cards showing (2 in the hand and 3 on the table) so there are still unseen. The probability that one of the next two cards turned is a club can be calculated using hypergeometric with and (about 31.64%)
Вероятность того, что обе следующие открываемые карты будут трефовыми, можно рассчитать, используя гипергеометрическое распределение с и (около 3,33%).
The probability that both of the next two cards turned are clubs can be calculated using hypergeometric with and (about 3.33%)
Вероятность того, что ни одна из следующих двух открываемых карт не будет трефовой, можно рассчитать, используя гипергеометрическое распределение с и (около 65,03%).
The probability that neither of the next two cards turned are clubs can be calculated using hypergeometric with and (about 65.03%)