Введение

Обращение порядка элементов бинарного отношения, функции, убывающие как 1/x, обратные зависимости в статистике.

В математике обратным к бинарному отношению является отношение, которое получается при изменении порядка элементов в исходном отношении. Например, обратным к отношению «ребенок от» является отношение «родитель от». В формальном выражении, если A и B – множества, а R – отношение из A в B, то обратным отношением R⁻¹ является отношение, определенное таким образом, что (b, a) ∈ R⁻¹ тогда и только тогда, когда (a, b) ∈ R. В нотации теории множеств:

Поскольку отношение может быть представлено логической матрицей, а логическая матрица обратного отношения является транспонированной к исходной, обратное отношение также называют транспонированным отношением. Его также называют противоположным или двойственным к исходному отношению, инверсией исходного отношения или реципрокным отношением.

Другие обозначения для обратного отношения включают R⁻¹ или Rᵀ.

Это обозначение аналогично обозначению для обратной функции. Хотя многие функции не имеют обратной, каждое отношение имеет единственное обратное. Унитарная операция, отображающая отношение в обратное отношение, является инволюцией, поэтому она индуцирует структуру полугруппы с инволюцией на бинарных отношениях на множестве или, в более общем случае, индуцирует категорию с кинжалом на категории отношений, как подробно описано ниже. Как унитарная операция, взятие обратного (иногда называемое преобразованием или транспонированием) коммутирует с операциями, связанными с порядком, в исчислении отношений, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Свойства

В моноиде бинарных эндореляций на множестве (где бинарной операцией над отношениями является композиция отношений), обратное отношение не удовлетворяет определению обратного элемента из теории групп, то есть, если R – произвольное отношение на X, то R⁻¹ не равно отношению идентичности на X в общем случае. Обратное отношение удовлетворяет (более слабым) аксиомам полугруппы с инволюцией: R⁻¹R = R R⁻¹ и в исчислении отношений преобразование (унарная операция взятия обратного отношения) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутирует с унарной операцией дополнения, а также с взятием супремума и инфимума. Преобразование также совместимо с порядком отношений по включению. Если Q является унивалентным, то QQT является отношением эквивалентности на области определения Q, см. Транзитивное отношение#Связанные свойства.