Введение
Лемма Кнастера — Куратовского — Мазуркевича — фундаментальный результат в математической теории неподвижных точек, опубликованный в 1929 году Кнастером, Куратовским и Мазуркевичем. Лемму KKM можно доказать, исходя из леммы Спернера, и её можно использовать для доказательства теоремы о неподвижной точке Брауэра.
Заявление
Пусть будет n-мерный симплекс с n вершинами, обозначенными как
ККМ-покрытие определяется как семейство замкнутых множеств, таких что для любого , выпуклая оболочка вершин, соответствующих , покрывается .
Лемма ККМ утверждает, что в любом ККМ-покрытии общее пересечение всех n множеств не пусто, то есть:
A KKM covering is defined as a set of closed sets such that for any , the convex hull of the vertices corresponding to is covered by
The KKM lemma says that in every KKM covering, the common intersection of all n sets is nonempty, i. e:
Лемма радужной KKM (Гейл)
Дэвид Гейл доказал следующее обобщение леммы KKM. Предположим, что вместо одного покрытия KKM у нас есть n различных покрытий KKM. Тогда существует перестановка этих покрытий с непустым пересечением, то есть: Название "лема KKM радуги" вдохновлено описанием Гейла его леммы: "Неформальное утверждение этого результата заключается в том, что если каждый из трех человек раскрасит треугольник в красный, белый и синий цвета в соответствии с правилами KKM, то найдется точка, которая принадлежит красному множеству одного человека, белому множеству другого и синему множеству третьего". Оригинальная лемма KKM следует из леммы KKM радуги, если просто взять n идентичных покрытий.
The name "rainbow KKM lemma" is inspired by Gale's description of his lemma:<blockquote>"A colloquial statement of this result is if each of three people paint a triangle red, white and blue according to the KKM rules, then there will be a point which is in the red set of one person, the white set of another, the blue of the third". The original KKM lemma follows from the rainbow KKM lemma by simply picking n identical coverings.
Лемма без соединителей (Bapat)
Коннектор симплекса — это связное множество, которое касается всех n граней симплекса. Покрытие без коннекторов — это покрытие, в котором нет коннектора. Любое KKM-покрытие является покрытием без коннекторов, поскольку в KKM-покрытии ни одно множество даже не касается всех n граней. Однако существуют покрытия без коннекторов, которые не являются KKM-покрытиями. Пример иллюстрируется справа. Там красное множество касается всех трех граней, но оно не содержит никакого коннектора, поскольку ни одна из его связных компонент не касается всех трех граней. Теорема Равиндры Бапата, обобщающая лемму Спернера, подразумевает, что лемма KKM распространяется на покрытия без коннекторов (он доказал свою теорему для ). Вариант без коннекторов также имеет вариант с перестановками, так что оба этих обобщения могут использоваться одновременно.
Теорема политопа KKMS (Комия)
Хидетоси Комия обобщил теорему KKMS с симплексов на политопы.