Кіріспе
Кнастер-Куратовски-Мазуркиевич леммасы — 1929 жылы Кнастер, Куратовски және Мазуркиевич жариялаған математикалық тұрақты нүктелер теориясының негізгі нәтижесі. KKM леммасын Спернер леммасы арқылы дәлелдеуге болады және ол Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасын дәлелдеу үшін қолданылуы мүмкін.
Айтылым
n төбесі бар n өлшемді симплекс болсын, деп белгілейік. KKM жабуы – жабық жиындықтар жиыны ретінде анықталады, яғни кез келген i үшін, i-ге сәйкес келетін төбелердің дөңгелек қабығы жиындықтардың бірімен жабылады. KKM леммасы былай глайды: әрбір KKM жабуында барлық n жиындықтың ортақ қиылысы бос емес, яғни:
A KKM covering is defined as a set of closed sets such that for any , the convex hull of the vertices corresponding to is covered by
The KKM lemma says that in every KKM covering, the common intersection of all n sets is nonempty, i. e:
Көктемдік KKM леммасы (Гейл)
Дэвид Гейл ККМ леммасының келесі жалпылауын дәлелдеді. Егер бір KKM жабуының орнына, бізде n түрлі KKM жабуы болса: онда, қиылысы бос емес жабулардың бір реттелуі бар, яғни: "Радуга KKM леммасы" атауы Гейлдің леммасын сипаттауынан туындады: "Бұл нәтиженің қарапайым түсіндірмесі: егер үш адамның әрқайсысы KKM ережелеріне сәйкес үшбұрышты қызыл, ақ және көк түспен бояса, онда бір адамның қызыл жиынында, екіншісінің ақ жиынында, үшіншісінің көк жиынында болатын нүкте табылады". Алғашқы KKM леммасы, жай ғана n бірдей жабуды таңдау арқылы Радуга KKM леммасынан шығады.
The name "rainbow KKM lemma" is inspired by Gale's description of his lemma:<blockquote>"A colloquial statement of this result is if each of three people paint a triangle red, white and blue according to the KKM rules, then there will be a point which is in the red set of one person, the white set of another, the blue of the third". The original KKM lemma follows from the rainbow KKM lemma by simply picking n identical coverings.
Қосылмасыз лемма (Bapat)
Симплекстің жалғауы – симплекстің барлық n жағына жанасатын байланысты жиын. Жалғаусыз жабу – жалғауы жоқ жабу. Кез келген KKM жабуы жалғаусыз жабу болып табылады, себебі KKM жабуында ешбір жиынның өзі барлық n жағына жанаспайды. Дегенмен, KKM жабуы емес, жалғаусыз жабулар да бар. Мысалы оң жақта көрсетілген. Мұндағы қызыл жиын барлық үш жаққа жанасады, бірақ ол жалғауды қамтымайды, себебі оның ешбір байланысты компоненті барлық үш жаққа жанаспайды. Равиндра Бапаттың теоремасы, Спернер леммасын жалпылай келе, KKM леммасы жалғаусыз жабуларға да қатысты екенін көрсетеді (оның теоремасы үшін дәлелденген). Жалғаусыз нұсқада да пермутациялық нұсқасы бар, сондықтан осы екі жалпылауды бір уақытта қолдануға болады.
Политоптық KKMS теоремасы (Комия)
Хидетоси Комия KKMS теоремасын симплекстерден политоптарға дейін жалпылады.