Введение
Статистический подход
В статистике методология поверхности отклика (RSM) изучает взаимосвязи между несколькими объясняющими переменными и одной или несколькими зависимыми переменными. RSM – это эмпирическая модель, использующая математические и статистические методы для установления связи между входными переменными, также известными как факторы, и откликом. RSM приобрела широкое распространение благодаря тому, что другие доступные методы, такие как теоретическое моделирование, могли быть сложными в использовании, занимать много времени, быть неэффективными, подверженными ошибкам и ненадежными. Метод был предложен Джорджем Э. П. Боксом и К. Б. Уилсоном в 1951 году. Основная идея RSM заключается в использовании серии спланированных экспериментов для получения оптимального отклика. Бокс и Уилсон предлагают использовать полиномиальную модель второй степени для этой цели. Они признают, что эта модель является лишь приближением, но используют ее, поскольку такую модель легко оценить и применить, даже при небольшом объеме информации о процессе. Статистические подходы, такие как RSM, могут быть использованы для максимизации производства определенного вещества путем оптимизации технологических факторов. В последнее время RSM, в сочетании с надлежащим планированием экспериментов (DoE), широко применяется для оптимизации составов. В отличие от традиционных методов, взаимодействие между переменными процесса может быть определено с помощью статистических методов.
Основной подход к методологии поверхности реагирования
Легкий способ оценить модель полинома первой степени — использовать факториальный эксперимент или дробный факториальный план. Этого достаточно, чтобы определить, какие объясняющие переменные влияют на интересующую переменную (переменные) отклика. Как только будет установлено, что остались только значимые объясняющие переменные, можно применить более сложный план, например, центральный композитный план, для оценки модели полинома второй степени, которая, тем не менее, является лишь приближением в лучшем случае. Однако модель второй степени может быть использована для оптимизации (максимизации, минимизации или достижения конкретной целевой величины) интересующей переменной (переменных) отклика.
Важные свойства и особенности RSM
Ортогональность – свойство, позволяющее оценивать индивидуальные эффекты k факторов независимо друг от друга без (или с минимальным) искажением. Ортогональность также обеспечивает оценки с минимальной дисперсией коэффициентов модели, что делает их некоррелированными. Ротационность – свойство вращения точек плана эксперимента вокруг центра факторного пространства. Моменты распределения точек плана эксперимента остаются постоянными. Однородность – третье свойство планов CCD, используемое для контроля количества центральных точек, – однородная точность (или однородность).
Куб
Кубические структуры обсуждаются Кифером, Аткинсоном, Доневым и Тобиасом, а также Хардином и Слоаном.
Сфера
Сферические узоры обсуждаются Кифером, а также Хардином и Слоаном.
Симплексная геометрия и смеси
Эксперименты со смесями обсуждаются во многих книгах по планированию экспериментов и в учебниках по методологии отклика Бокса и Дрейпера, а также Аткинсона, Донева и Тобиаса. Подробное обсуждение и обзор представлены в углубленном учебнике Джона Корнелла.
Многоцелевые функции
Некоторые расширения методологии поверхности отклика решают проблему множественных откликов. Множественные отклики создают трудности, поскольку оптимальное значение для одного отклика может не быть оптимальным для других. Другие расширения используются для снижения вариабельности одного отклика при стремлении к конкретному значению или достижении почти максимального или минимального значения, одновременно предотвращая чрезмерное увеличение вариабельности этого отклика.
Практические проблемы
Методология поверхностного отклика использует статистические модели, и поэтому специалисты должны понимать, что даже лучшая статистическая модель является лишь приближением к действительности. На практике как сами модели, так и значения параметров неизвестны и подвержены неопределенности, обусловленной как недостатком знаний, так и случайными ошибками. Разумеется, найденная оптимальная точка не обязательно будет оптимальной в реальности из-за погрешностей оценок и неточностей модели. Тем не менее, методология поверхностного отклика имеет подтвержденную эффективность в помощи исследователям в улучшении продуктов и услуг: например, первоначальное моделирование поверхности отклика, разработанное Боксом, позволило химическим инженерам улучшить процесс, который годами находился в точке седла. Инженеры не могли позволить себе построить кубический трехфакторный план эксперимента для оценки квадратичной модели, и их смещенные линейные модели показывали нулевой градиент. План эксперимента Бокса снизил стоимость экспериментирования, что позволило построить квадратичную модель и, как следствие, найти (долгожданное) направление подъема.