Введение

Свойство быть четным или нечетным числом

В математике паритет — это свойство целого числа, определяющее, является ли оно четным или нечетным. Целое число считается четным, если оно делится на 2 без остатка, и нечетным — если не делится. Например, −4, 0 и 82 — четные числа, а −3, 5, 7 и 21 — нечетные числа. Приведенное выше определение паритета применимо только к целым числам и не может быть использовано для чисел, таких как 1/2 или 4.201. Некоторые обобщения понятия паритета на более широкий класс "чисел" или в более общих контекстах представлены в разделе "Высшая математика" ниже. Четные и нечетные числа имеют противоположный паритет, например, 22 (четное число) и 13 (нечетное число) имеют противоположные паритеты. В частности, паритет нуля — четный. Любые два последовательных целых числа имеют противоположный паритет. Число (то есть целое число), представленное в десятичной системе счисления, является четным или нечетным в зависимости от того, четна или нечетна его последняя цифра. То есть, если последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9, то число нечетное; в противном случае оно четное, поскольку последняя цифра любого четного числа — 0, 2, 4, 6 или 8. Аналогичный принцип применим к любому четному основанию системы счисления. В частности, число, представленное в двоичной системе счисления, является нечетным, если его последняя цифра — 1, и четным, если его последняя цифра — 0. В нечетной системе счисления число является четным, если сумма его цифр четна.

Свойства

Следующие законы можно проверить, используя свойства делимости. Они являются частным случаем правил модульной арифметики и обычно используются для предварительной проверки корректности равенства путем анализа четности обеих частей. Как и в обычной арифметике, умножение и сложение коммутативны и ассоциативны в арифметике по модулю 2, и умножение распределительно относительно сложения. Однако вычитание в арифметике по модулю 2 совпадает со сложением, поэтому вычитание также обладает этими свойствами, что не характерно для обычной целочисленной арифметики.

История

Древние греки считали 1, монаду, не полностью нечетным и не полностью четным. Некоторые из этих представлений сохранились вплоть до XIX века: Фридрих Вильгельм Август Фрёбель в своей книге 1826 года «Воспитание человека» инструктирует учителя упражнять учеников в утверждении, что 1 не является ни четным, ни нечетным, к чему Фрёбель добавляет философское замечание: «Полезно сразу же обратить внимание ученика на великий и далеко идущий закон природы и мышления. Суть его в том, что между двумя различными вещами или идеями всегда существует третья, своего рода балансирующая, как бы объединяющая их. Так, между нечетными и четными числами находится одно число (единица), которое не является ни тем, ни другим. Подобным образом, в геометрии прямой угол находится между острым и тупым углами; а в языке полугласные или придыхательные звуки – между глухими и гласными. Внимательный учитель и ученик, обученный самостоятельному мышлению, едва ли могут не заметить этот и другие важные закономерности».

Более высокие размеры и более общие классы чисел

Целые координаты точек в евклидовом пространстве двух или более измерений также имеют чётность, обычно определяемую как чётность суммы координат. Например, гранецентрированная кубическая решётка и её более высокомерные обобщения, решётки Dn, состоят из всех целочисленных точек, сумма координат которых чётна. Эта особенность проявляется в шахматах, где чётность поля обозначается его цветом: слоны вынуждены перемещаться между полями одной и той же чётности, в то время как кони чередуют чётность при каждом ходе. Эта форма чётности была знаменито использована для решения задачи об изувеченной шахматной доске: если два противоположных угловых поля удалены с шахматной доски, то оставшаяся доска не может быть покрыта домино, поскольку каждое домино покрывает по одному полю каждой чётности, и полей одной чётности на два больше, чем другой. Чётность ординального числа может быть определена как чётная, если число является предельное ординальное число, или предельное ординальное число плюс конечное чётное число, и нечётная в противном случае. Пусть R — коммутативное кольцо, и пусть I — идеал в R, индекс которого равен 2. Элементы косета могут называться чётными, а элементы косета — нечётными. В качестве примера, пусть 1=R = 'Z'(2) будет локализацией Z в простом идеале (2). Тогда элемент R является чётным или нечётным тогда и только тогда, когда его числитель обладает тем же свойством в Z.

Теория чисел

Чётные числа образуют идеал в кольце целых чисел, но нечётные числа не образуют — это следует из того факта, что нейтральный элемент для сложения, ноль, принадлежит только чётным числам. Целое число является чётным, если оно сравнимо с 0 по модулю этого идеала, иными словами, если оно сравнимо с 0 по модулю 2, и нечётным, если оно сравнимо с 1 по модулю 2. Все простые числа нечётные, за исключением одного: простого числа 2. Все известные совершенные числа чётные; неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа. Гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое чётное целое число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Современные компьютерные вычисления подтвердили справедливость этой гипотезы для целых чисел до 4 × 10¹⁸ включительно, однако общего доказательства до сих пор не найдено.

Теория групп

Паритетом перестановки (как это определено в абстрактной алгебре) является паритет числа транспозиций, на которые перестановка может быть разложена. Например, переход от (ABC) к (BCA) является четным, поскольку его можно осуществить, поменяв местами A и B, а затем C и A (две транспозиции). Можно доказать, что никакую перестановку нельзя разложить одновременно на четное и нечетное число транспозиций. Следовательно, приведенное выше определение является корректным. В кубике Рубика, Мегаминксе и других головоломках, собираемых вращениями, ходы головоломки допускают только четные перестановки элементов, поэтому паритет важен для понимания пространства конфигураций этих головоломок. Теорема Фейта — Томпсона утверждает, что конечная группа всегда разрешима, если ее порядок является нечетным числом. Это пример роли нечетных чисел в сложной математической теореме, где способ применения простого предположения о "нечетном порядке" не является очевидным.

Анализ

Парность функции описывает, как изменяются её значения при замене аргумента на его отрицание. Чётная функция, например, чётная степень переменной, возвращает одинаковый результат для любого аргумента и для его отрицания. Нечётная функция, например, нечётная степень переменной, возвращает для любого аргумента результат, противоположный по знаку результату для отрицания этого аргумента. Функция может быть и не чётной, и не нечётной, а функция f(x) = 0 является одновременно чётной и нечётной. Ряд Тейлора чётной функции содержит только слагаемые с чётными степенями, а ряд Тейлора нечётной функции – только слагаемые с нечётными степенями.

Комбинаторная теория игр

В комбинаторной теории игр злое число — это число, имеющее четное количество единиц в своём двоичном представлении, а одиозное число — число, имеющее нечётное количество единиц в своём двоичном представлении; эти числа играют важную роль в стратегии игры Кайлз. Функция паритета сопоставляет числу количество единиц в его двоичном представлении по модулю 2, поэтому её значение равно нулю для злых чисел и единице для одиозных чисел. Последовательность Тью — Морзе, бесконечная последовательность нулей и единиц, содержит 0 в позиции i, если i злое, и 1 в этой позиции, если i одиозное.

Дополнительные заявки

В теории информации, бит четности, добавленный к двоичному числу, обеспечивает простейшую форму кода для обнаружения ошибок. Если один бит в результирующем значении изменится, то четность станет неправильной: изменение бита в исходном числе придает ему четность, отличную от записанной, а изменение бита четности без изменения числа, от которого он был вычислен, снова приводит к неверному результату. Таким образом, все однобитовые ошибки передачи могут быть надежно обнаружены. Некоторые более сложные коды обнаружения ошибок также основаны на использовании нескольких битов четности для подмножеств битов исходного закодированного значения. В духовых инструментах с цилиндрическим каналом и фактически закрытых с одного конца, таких как кларнет у мундштука, генерируемые гармоники являются нечетными кратными основной частоты. (В цилиндрических трубах, открытых с обоих концов, используемых, например, в некоторых органных регистрах, таких как открытый диапазон, гармоники являются четными кратными той же частоты для данной длины канала, но это приводит к удвоению основной частоты и генерации всех кратных этой основной частоты.) См. гармонический ряд (музыка). В некоторых странах нумерация домов организована таким образом, что дома с одной стороны улицы имеют четные номера, а дома с другой стороны – нечетные. Аналогично, среди пронумерованных автомагистралей США четные номера в основном обозначают магистрали, идущие с востока на запад, а нечетные – с севера на юг. Среди номеров авиарейсов четные номера обычно обозначают рейсы, направляющиеся на восток или на север, а нечетные – на запад или на юг.