Космологические расстояния: сопутствующее и собственное расстояние.

Введение

Измерение расстояния

В стандартной космологии комовое расстояние и собственное расстояние (или физическое расстояние) – это две тесно связанные меры расстояния, используемые космологами для определения расстояний между объектами. Комовое расстояние учитывает расширение Вселенной, предоставляя расстояние, которое не изменяется со временем из-за расширения пространства (хотя оно может изменяться из-за других локальных факторов, таких как движение галактики внутри скопления). Собственное расстояние приблизительно соответствует положению удалённого объекта в конкретный момент космологического времени, которое может меняться со временем из-за расширения Вселенной. Комовое и собственное расстояния определены как равные в настоящий момент времени. В другое время расширение Вселенной приводит к изменению собственного расстояния, в то время как комовое расстояние остаётся постоянным.

Комовые координаты

Хотя общая теория относительности позволяет формулировать законы физики, используя произвольные координаты, некоторые варианты координат более естественны или удобны в работе. Космологические координаты (или сопутствующие координаты) являются примером такого естественного выбора. Они присваивают постоянные значения пространственным координатам наблюдателям, которые воспринимают Вселенную как изотропную. Такие наблюдатели называются "сопутствующими", поскольку они движутся вместе с потоком Хаббла. Сопутствующий наблюдатель – единственный, который воспринимает Вселенную, включая космическое микроволновое фоновое излучение, как изотропную. Несопутствующие наблюдатели будут видеть области неба систематически смещенными в синюю или красную сторону. Таким образом, изотропия, особенно изотропия космического микроволнового фонового излучения, определяет особую локальную систему отсчета, называемую сопутствующей системой отсчета. Скорость наблюдателя относительно локальной сопутствующей системы отсчета называется его собственной скоростью. Большинство крупных скоплений материи, таких как галактики, почти сопутствуют, поэтому их собственные скорости (обусловленные гравитационным притяжением) малы по сравнению с их скоростью в потоке Хаббла, наблюдаемой наблюдателями в умеренно близких галактиках (то есть, как видно из галактик, расположенных за пределами локальной группы, связанной с наблюдаемым "скоплением материи"). Сопутствующее время – это время, прошедшее с момента Большого взрыва, измеренное часами сопутствующего наблюдателя, и является мерой космологического времени. Сопутствующие пространственные координаты указывают, где происходит событие, а космологическое время – когда происходит событие. Вместе они образуют полную систему координат, определяющую место и время события. Пространство в сопутствующих координатах обычно называют "статическим", поскольку большинство тел в масштабе галактик или больше приблизительно сопутствуют, а сопутствующие тела имеют статические, неизменные сопутствующие координаты. Таким образом, для данной пары сопутствующих галактик, хотя собственное расстояние между ними было меньше в прошлом и станет больше в будущем из-за расширения пространства, сопутствующее расстояние между ними остается постоянным во все времена. Расширяющаяся Вселенная характеризуется возрастающим масштабным фактором, который объясняет, как постоянные сопутствующие расстояния согласуются с собственными расстояниями, которые увеличиваются со временем.

Although general relativity allows the formulation of the laws of physics using arbitrary coordinates, some coordinate choices are more natural or easier to work with. Comoving coordinates are an example of such a natural coordinate choice. They assign constant spatial coordinate values to observers who perceive the universe as isotropic. Such observers are called "comoving" observers because they move along with the Hubble flow. A comoving observer is the only observer who will perceive the universe, including the cosmic microwave background radiation, to be isotropic. Non comoving observers will see regions of the sky systematically blue shifted or red shifted. Thus isotropy, particularly isotropy of the cosmic microwave background radiation, defines a special local frame of reference called the comoving frame. The velocity of an observer relative to the local comoving frame is called the peculiar velocity of the observer. Most large lumps of matter, such as galaxies, are nearly comoving, so that their peculiar velocities (owing to gravitational attraction) are small compared to their Hubble flow velocity seen by observers in moderately nearby galaxies, (i. e. as seen from galaxies just outside the group local to the observed "lump of matter"). The comoving time coordinate is the elapsed time since the Big Bang according to a clock of a comoving observer and is a measure of cosmological time. The comoving spatial coordinates tell where an event occurs while cosmological time tells when an event occurs. Together, they form a complete coordinate system, giving both the location and time of an event. Space in comoving coordinates is usually referred to as being "static", as most bodies on the scale of galaxies or larger are approximately comoving, and comoving bodies have static, unchanging comoving coordinates. So for a given pair of comoving galaxies, while the proper distance between them would have been smaller in the past and will become larger in the future due to the expansion of space, the comoving distance between them remains constant at all times. The expanding Universe has an increasing scale factor which explains how constant comoving distances are reconciled with proper distances that increase with time.

Расстояние движения и правильное расстояние

Комовое расстояние — это расстояние между двумя точками, измеренное вдоль пути, определённого в текущий космологический момент времени. Для объектов, движущихся вместе с потоком Хаббла, оно считается постоянным во времени. Комовое расстояние от наблюдателя до далёкого объекта (например, галактики) можно вычислить по следующей формуле (выведенной с использованием метрики Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера):

где a(t') — масштабный фактор, t<sub>e</sub> — время излучения фотонов, зарегистрированных наблюдателем, t — текущее время, а c — скорость света в вакууме. Несмотря на то, что это интеграл по времени, это выражение даёт правильное расстояние, которое измерила бы гипотетическая рулетка в фиксированный момент времени t, то есть «физическое расстояние» (как определено ниже) с учётом зависящей от времени комовой скорости света через обратный масштабный фактор в подынтегральном выражении. Под «комовой скоростью света» мы понимаем скорость света в комовых координатах [], которая меняется во времени, хотя локально, в любой точке вдоль нулевой геодезической световой частицы, наблюдатель в инерциальной системе всегда измеряет скорость света равной c в соответствии со специальной теорией относительности. Подробное выведение можно найти в «Приложении А: Стандартные релятивистские определения расширения и горизонтов» работы Davis & Lineweaver 2004. В частности, см. уравнения 16–22 в указанной статье 2004 года [примечание: в этой статье масштабный фактор определяется как величина с размерностью расстояния, а радиальная координата — безразмерная].

Использование надлежащего расстояния

Космологическое время совпадает с локально измеряемым временем для наблюдателя в фиксированной сопутствующей пространственной точке, то есть в локальной сопутствующей системе отсчета. Собственное расстояние также равно локально измеряемому расстоянию в сопутствующей системе отсчета для близких объектов. Чтобы измерить собственное расстояние между двумя далекими объектами, представим, что вдоль прямой, соединяющей эти объекты, расположено множество сопутствующих наблюдателей, находящихся близко друг к другу и образующих цепь. Все эти наблюдатели должны иметь одинаковое космологическое время. Каждый наблюдатель измеряет расстояние до ближайшего соседа по цепи, а длина цепи, представляющая собой сумму расстояний между соседними наблюдателями, является полным собственным расстоянием. Важно для определения как сопутствующего, так и собственного расстояния в космологическом смысле (в отличие от собственной длины в специальной теории относительности), чтобы все наблюдатели имели одинаковый космологический возраст. Например, если измерять расстояние вдоль прямой линии или пространственной геодезической между двумя точками, то наблюдатели, расположенные между этими точками, будут иметь разные космологические возраста в момент пересечения геодезической их мировых линий. Следовательно, вычисление расстояния вдоль этой геодезической не будет давать правильного значения сопутствующего или космологического собственного расстояния. Сопутствующее и собственное расстояния – это не то же самое понятие расстояния, что и расстояние в специальной теории относительности. Это можно увидеть, рассмотрев гипотетический случай Вселенной, пустой от массы, где оба типа расстояний могут быть измерены. Когда плотность массы в метрике FLRW установлена равной нулю (пустая «мильновская Вселенная»), то космологическая система координат, используемая для записи этой метрики, становится неинерциальной системой координат в пространстве-времени Минковского специальной теории относительности, где поверхности постоянного собственного времени Минковского τ выглядят как гиперболы на диаграмме Минковского с точки зрения инерциальной системы отсчета. В этом случае для двух событий, одновременных согласно космологической временной координате, значение космологического собственного расстояния не равно значению собственной длины между теми же событиями, которое просто представляет собой расстояние по прямой между событиями на диаграмме Минковского (а прямая линия является геодезической в плоском пространстве-времени Минковского) или координатное расстояние между событиями в инерциальной системе отсчета, где они одновременны. Если разделить изменение собственного расстояния на интервал космологического времени, в течение которого это изменение измерялось (или взять производную собственного расстояния по космологическому времени) и назвать это «скоростью», то полученные «скорости» галактик или квазаров могут превышать скорость света c. Такое сверхсветовое расширение не противоречит специальной или общей теории относительности, а также определениям, используемым в физической космологии. Даже сам свет не имеет «скорости» c в этом смысле; общая скорость любого объекта может быть выражена как сумма, где – скорость удаления, вызванная расширением Вселенной (скорость, задаваемая законом Хаббла), а – «особенная скорость», измеренная локальными наблюдателями (с и , точки обозначают первую производную), так что для света равна c (−c, если свет испускается в направлении нашей позиции в начале координат, и +c, если испускается от нас), но общая скорость обычно отличается от c. В общей теории относительности ни одна система координат на большом участке искривленного пространства-времени не является «инерциальной», но в локальной окрестности любой точки искривленного пространства-времени можно определить «локальную инерциальную систему отсчета», в которой локальная скорость света равна c и в которой массивные объекты, такие как звезды и галактики, всегда имеют локальную скорость, меньшую чем c. Вопрос о том, как лучше всего описать и популяризировать тот факт, что расширение Вселенной происходит (или, по крайней мере, происходило) в самом большом масштабе со скоростью, превышающей скорость света, вызвал определенные споры. Одна из точек зрения представлена в Davis и Lineweaver, 2004.

Cosmological time is identical to locally measured time for an observer at a fixed comoving spatial position, that is, in the local comoving frame. Proper distance is also equal to the locally measured distance in the comoving frame for nearby objects. To measure the proper distance between two distant objects, one imagines that one has many comoving observers in a straight line between the two objects, so that all of the observers are close to each other, and form a chain between the two distant objects. All of these observers must have the same cosmological time. Each observer measures their distance to the nearest observer in the chain, and the length of the chain, the sum of distances between nearby observers, is the total proper distance. It is important to the definition of both comoving distance and proper distance in the cosmological sense (as opposed to proper length in special relativity) that all observers have the same cosmological age. For instance, if one measured the distance along a straight line or spacelike geodesic between the two points, observers situated between the two points would have different cosmological ages when the geodesic path crossed their own world lines, so in calculating the distance along this geodesic one would not be correctly measuring comoving distance or cosmological proper distance. Comoving and proper distances are not the same concept of distance as the concept of distance in special relativity. This can be seen by considering the hypothetical case of a universe empty of mass, where both sorts of distance can be measured. When the density of mass in the FLRW metric is set to zero (an empty 'Milne universe'), then the cosmological coordinate system used to write this metric becomes a non inertial coordinate system in the Minkowski spacetime of special relativity where surfaces of constant Minkowski proper time τ appear as hyperbolas in the Minkowski diagram from the perspective of an inertial frame of reference. In this case, for two events which are simultaneous according to the cosmological time coordinate, the value of the cosmological proper distance is not equal to the value of the proper length between these same events, which would just be the distance along a straight line between the events in a Minkowski diagram (and a straight line is a geodesic in flat Minkowski spacetime), or the coordinate distance between the events in the inertial frame where they are simultaneous. If one divides a change in proper distance by the interval of cosmological time where the change was measured (or takes the derivative of proper distance with respect to cosmological time) and calls this a "velocity", then the resulting "velocities" of galaxies or quasars can be above the speed of light, c. Such superluminal expansion is not in conflict with special or general relativity nor the definitions used in physical cosmology. Even light itself does not have a "velocity" of c in this sense; the total velocity of any object can be expressed as the sum where is the recession velocity due to the expansion of the universe (the velocity given by Hubble's law) and is the "peculiar velocity" measured by local observers (with and , the dots indicating a first derivative), so for light is equal to c (−c if the light is emitted towards our position at the origin and +c if emitted away from us) but the total velocity is generally different from c. In general relativity no coordinate system on a large region of curved spacetime is "inertial", but in the local neighborhood of any point in curved spacetime we can define a "local inertial frame" in which the local speed of light is c and in which massive objects such as stars and galaxies always have a local speed smaller than c. The cosmological definitions used to define the velocities of distant objects are coordinate dependent – there is no general coordinate independent definition of velocity between distant objects in general relativity. How best to describe and popularize that expansion of the universe is (or at least was) very likely proceeding – at the greatest scale – at above the speed of light, has caused a minor amount of controversy. One viewpoint is presented in Davis and Lineweaver, 2004.

Короткие расстояния против длинных

На небольших расстояниях и в коротких поездках расширение Вселенной во время путешествия можно не учитывать. Это происходит потому, что время в пути между любыми двумя точками для нерелятивистской частицы будет равно просто собственному расстоянию (то есть, сопутствующему расстоянию, измеренному с использованием масштабного фактора Вселенной в момент путешествия, а не масштабного фактора в настоящий момент) между этими точками, деленному на скорость частицы. Если частица движется с релятивистской скоростью, необходимо внести стандартные релятивистские поправки на замедление времени.