Тригонометрические таблицы: история, применение и современные методы вычисления

Введение

Обзор тригонометрических таблиц

В математике таблицы тригонометрических функций полезны во многих областях. До появления карманных калькуляторов тригонометрические таблицы были необходимы для навигации, науки и инженерии. Вычисление математических таблиц было важной областью исследований, что привело к разработке первых механических вычислительных устройств. Современные компьютеры и карманные калькуляторы теперь генерируют значения тригонометрических функций по запросу, используя специальные библиотеки математического кода. Часто эти библиотеки используют предварительно вычисленные таблицы внутри и вычисляют требуемое значение с помощью подходящего метода интерполяции. Интерполяция простых таблиц тригонометрических функций по-прежнему используется в компьютерной графике, где может потребоваться лишь умеренная точность, а скорость часто является приоритетной. Другое важное применение тригонометрических таблиц и схем генерации – это алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), где одни и те же значения тригонометрических функций (называемые коэффициентами поворота) должны вычисляться многократно для данного преобразования, особенно в распространенном случае, когда вычисляется множество преобразований одного и того же размера. В этом случае обращение к общим библиотечным функциям каждый раз неприемлемо медленно. Один из вариантов – вызвать библиотечные функции один раз для создания таблицы необходимых тригонометрических значений, но это требует значительной памяти для хранения таблицы. Другая возможность, поскольку требуется регулярная последовательность значений, – использовать рекуррентную формулу для вычисления тригонометрических значений «на лету». Значительные исследования были посвящены поиску точных и устойчивых рекуррентных схем для сохранения точности БПФ (которая очень чувствительна к тригонометрическим ошибкам). Тригонометрическая таблица – это, по сути, справочная диаграмма, представляющая значения синуса, косинуса, тангенса и других тригонометрических функций для различных углов. Эти углы обычно располагаются в верхнем ряду таблицы, а различные тригонометрические функции обозначаются в первом столбце слева. Чтобы найти значение конкретной тригонометрической функции для определенного угла, нужно найти строку для этой функции и следовать по ней до столбца под нужным углом.

In mathematics, tables of trigonometric functions are useful in a number of areas. Before the existence of pocket calculators, trigonometric tables were essential for navigation, science and engineering. The calculation of mathematical tables was an important area of study, which led to the development of the first mechanical computing devices. Modern computers and pocket calculators now generate trigonometric function values on demand, using special libraries of mathematical code. Often, these libraries use pre calculated tables internally, and compute the required value by using an appropriate interpolation method. Interpolation of simple look up tables of trigonometric functions is still used in computer graphics, where only modest accuracy may be required and speed is often paramount. Another important application of trigonometric tables and generation schemes is for fast Fourier transform (FFT) algorithms, where the same trigonometric function values (called twiddle factors) must be evaluated many times in a given transform, especially in the common case where many transforms of the same size are computed. In this case, calling generic library routines every time is unacceptably slow. One option is to call the library routines once, to build up a table of those trigonometric values that will be needed, but this requires significant memory to store the table. The other possibility, since a regular sequence of values is required, is to use a recurrence formula to compute the trigonometric values on the fly. Significant research has been devoted to finding accurate, stable recurrence schemes in order to preserve the accuracy of the FFT (which is very sensitive to trigonometric errors). A trigonometry table is essentially a reference chart that presents the values of sine, cosine, tangent, and other trigonometric functions for various angles. These angles are usually arranged across the top row of the table, while the different trigonometric functions are labeled in the first column on the left. To locate the value of a specific trigonometric function at a certain angle, you would find the row for the function and follow it across to the column under the desired angle.

Традиционная тригонометрия включает в себя несколько простых шагов

Определите конкретный угол, для которого необходимо найти значения тригонометрических функций. Найдите этот угол на горизонтальной оси (верхний ряд) таблицы. Выберите нужную тригонометрическую функцию из вертикальной оси (первый столбец). Проведите линию от выбранной функции вправо и от нужного угла вниз до точки их пересечения в таблице; число в этой точке и будет значением тригонометрической функции для данного угла.

Вычисления по требованию

Современные компьютеры и калькуляторы используют различные методы для вычисления значений тригонометрических функций по требованию для произвольных углов (Kantabutra, 1996). Один из распространенных методов, особенно на высокопроизводительных процессорах с блоками операций с плавающей запятой, заключается в комбинировании полиномиального или рационального приближения (такого как приближение Чебышева, наилучшее равномерное приближение, приближение Паде, и, как правило, для более высокой или переменной точности, ряды Тейлора и Лорана) с приведением к меньшему диапазону и поиском в таблице — сначала они находят ближайший угол в небольшой таблице, а затем используют полином для вычисления поправки. Обеспечение точности при такой интерполяции — нетривиальная задача, но для этого могут использоваться такие методы, как точные таблицы Галя, приведение диапазона Коди и Уэйта, а также алгоритмы приведения радиана Пейна и Ханека. На более простых устройствах, не имеющих аппаратного умножителя, существует алгоритм CORDIC (а также связанные с ним методы), который более эффективен, поскольку использует только сдвиги и сложения. Все эти методы обычно реализуются аппаратно для повышения производительности. Конкретный полином, используемый для приближения тригонометрической функции, генерируется заранее с использованием некоторого приближения алгоритма минимаксного приближения. Для вычислений с очень высокой точностью, когда скорость сходимости разложения в ряд становится слишком низкой, тригонометрические функции могут быть аппроксимированы с помощью среднегеометрического, которое само аппроксимирует тригонометрическую функцию (комплексным) эллиптическим интегралом (Brent, 1976). Тригонометрические функции углов, являющихся рациональными кратами 2π, являются алгебраическими числами. Значения для a/b·2π можно найти, применив тождество де Муавра для n = a к b-му корню из единицы, который также является корнем полинома x<sup>b</sup> - 1 в комплексной плоскости. Например, косинус и синус 2π ⋅ 5/37 являются, соответственно, действительной и мнимой частями 5-й степени 37-го корня из единицы cos(2π/37) + sin(2π/37)i, который является корнем полинома степени 37 x<sup>37</sup> − 1. В этом случае алгоритм поиска корней, такой как метод Ньютона, намного проще, чем алгоритмы среднегеометрического, при этом сходится с аналогичной асимптотической скоростью. Однако последние алгоритмы необходимы для трансцендентных тригонометрических констант.

Modern computers and calculators use a variety of techniques to provide trigonometric function values on demand for arbitrary angles (Kantabutra, 1996). One common method, especially on higher end processors with floating point units, is to combine a polynomial or rational approximation (such as Chebyshev approximation, best uniform approximation, Padé approximation, and typically for higher or variable precisions, Taylor and Laurent series) with range reduction and a table lookup — they first look up the closest angle in a small table, and then use the polynomial to compute the correction. Maintaining precision while performing such interpolation is nontrivial, but methods like Gal's accurate tables, Cody and Waite range reduction, and Payne and Hanek radian reduction algorithms can be used for this purpose. On simpler devices that lack a hardware multiplier, there is an algorithm called CORDIC (as well as related techniques) that is more efficient, since it uses only shifts and additions. All of these methods are commonly implemented in hardware for performance reasons. The particular polynomial used to approximate a trigonometric function is generated ahead of time using some approximation of a minimax approximation algorithm. For very high precision calculations, when series expansion convergence becomes too slow, trigonometric functions can be approximated by the arithmetic geometric mean, which itself approximates the trigonometric function by the (complex) elliptic integral (Brent, 1976). Trigonometric functions of angles that are rational multiples of 2π are algebraic numbers. The values for a/b·2π can be found by applying de Moivre's identity for n = a to a bth root of unity, which is also a root of the polynomial xb 1 in the complex plane. For example, the cosine and sine of 2π ⋅ 5/37 are the real and imaginary parts, respectively, of the 5th power of the 37th root of unity cos(2π/37) + sin(2π/37)i, which is a root of the degree 37 polynomial x37 − 1. For this case, a root finding algorithm such as Newton's method is much simpler than the arithmetic geometric mean algorithms above while converging at a similar asymptotic rate. The latter algorithms are required for transcendental trigonometric constants, however.

Формулы полуугольника и углового сложения

Исторически, самым ранним методом вычисления тригонометрических таблиц, и, вероятно, наиболее распространенным до появления компьютеров, было многократное применение тригонометрических тождеств половинного угла и сложения углов, начиная с известного значения (например, sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0). Этот метод использовал древний астроном Птолемей, который вывел их в "Альмагесте" – трактате по астрономии. В современной форме тождества, которые он вывел, формулируются следующим образом (знаки определяются квадрантом, в котором находится x):

Они использовались для построения таблицы хорд Птолемея, которая применялась для решения астрономических задач. Возможны и другие варианты этих тождеств: например, в некоторых ранних тригонометрических таблицах использовались не синус и косинус, а синус и версинус.