Тригонометриялық кестелер: мақсаты, тарихы, қазіргі қолданылуы. Есептеу құралдарына дейінгі дәуірде навигация, ғылым мен инженерияда маңызды рөл атқарды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Тригонометриялық кестелер туралы шолу
Overview about trigonometric tables
Математикада тригонометриялық функциялар кестелері көптеген салаларда пайдалы. Қалташа калькуляторлар пайда болғанға дейін тригонометриялық кестелер навигация, ғылым және инженерия үшін өте қажет болды. Математикалық кестелерді есептеу – алғашқы механикалық есептеу құрылғыларын жасауға әкелген маңызды зерттеу саласы болды. Қазіргі заманғы компьютерлер мен қалташа калькуляторлар математикалық кодтың арнайы кітапханаларын пайдалана отырып, қажет болғанда тригонометриялық функциялардың мәндерін шығарады. Көбінесе бұл кітапханалар ішкі есептелген кестелерді қолданады және тиісті интерполяция әдісін қолдану арқылы қажетті мәнді есептейді. Тригонометриялық функциялардың қарапайым іздеу кестелерін интерполяциялау компьютерлік графикада әлі де қолданылады, онда тек шамалы дәлдік қажет болуы мүмкін және жылдамдық маңыздырақ болуы мүмкін. Тригонометриялық кестелер мен генерация схемаларының тағы бір маңызды қолданылуы – жылдам Фурье түрлендіруі (FFT) алгоритмдері үшін, онда берілген түрлендіруде бірдей тригонометриялық функция мәндері (твиддл факторлары деп аталады) көп рет есептелуі керек, әсіресе бірдей өлшемдегі көптеген түрлендірулер есептелетін жағдайда. Мұндай жағдайда, әдеттегі кітапхана функцияларын әр жолы шақыру тым баяу болады. Бір мүмкіндік – кітапхана функцияларын бір рет шақырып, қажетті тригонометриялық мәндердің кестесін жасау, бірақ бұл кестені сақтау үшін көп жад қажет. Екінші мүмкіндік, мәндердің реттелген тізбегі қажет болғандықтан, тригонометриялық мәндерді дереу есептеу үшін рекурренттік формула қолдану. FFT-нің дәлдігін сақтау үшін (тригонометриялық қателерге өте сезімтал) дәл және тұрақты рекурренттік схемаларды табуға көп зерттеу жұмсалды. Тригонометриялық кесте – бұл синус, косинус, тангенс және басқа тригонометриялық функциялардың әртүрлі бұрыштардағы мәндерін көрсеткен анықтамалық кесте. Бұл бұрыштар әдетте кестедегі жоғарғы қатарда орналасады, ал әртүрлі тригонометриялық функциялар сол жақтағы бірінші бағанда көрсетіледі. Белгілі бір бұрыштағы белгілі бір тригонометриялық функцияның мәнін табу үшін, функцияның қатарын тауып, оны қажетті бұрыштың астындағы бағанға дейін табу керек.
In mathematics, tables of trigonometric functions are useful in a number of areas. Before the existence of pocket calculators, trigonometric tables were essential for navigation, science and engineering. The calculation of mathematical tables was an important area of study, which led to the development of the first mechanical computing devices. Modern computers and pocket calculators now generate trigonometric function values on demand, using special libraries of mathematical code. Often, these libraries use pre calculated tables internally, and compute the required value by using an appropriate interpolation method. Interpolation of simple look up tables of trigonometric functions is still used in computer graphics, where only modest accuracy may be required and speed is often paramount. Another important application of trigonometric tables and generation schemes is for fast Fourier transform (FFT) algorithms, where the same trigonometric function values (called twiddle factors) must be evaluated many times in a given transform, especially in the common case where many transforms of the same size are computed. In this case, calling generic library routines every time is unacceptably slow. One option is to call the library routines once, to build up a table of those trigonometric values that will be needed, but this requires significant memory to store the table. The other possibility, since a regular sequence of values is required, is to use a recurrence formula to compute the trigonometric values on the fly. Significant research has been devoted to finding accurate, stable recurrence schemes in order to preserve the accuracy of the FFT (which is very sensitive to trigonometric errors). A trigonometry table is essentially a reference chart that presents the values of sine, cosine, tangent, and other trigonometric functions for various angles. These angles are usually arranged across the top row of the table, while the different trigonometric functions are labeled in the first column on the left. To locate the value of a specific trigonometric function at a certain angle, you would find the row for the function and follow it across to the column under the desired angle.
Тригонометриялық кестеге бірнеше қадаммен қол жеткізу оңай
Тригонометриялық мәндерін табу қажетті нақты бұрышты анықтаңыз. Осы бұрышты кестедегі көлденең осьтің (жоғарғы қатар) бойымен табыңыз. Тік осьтен (бірінші баған) сізге қажетті тригонометриялық функцияны таңдаңыз. Функциядан бастап оңға қарай, ал бұрыштан төмен қарай кестедегі қиылысқан нүктеге дейін іздеңіз; осы қиылыстағы сан – сол бұрыш үшін тригонометриялық функцияның мәнін көрсетеді.
Determine the specific angle for which you need to find the trigonometric values. Locate this angle along the horizontal axis (top row) of the table. Choose the trigonometric function you're interested in from the vertical axis (first column). Trace across from the function and down from the angle to the point where they intersect on the table; the number at this intersection provides the value of the trigonometric function for that angle.
Талап бойынша есептеу
Қазіргі заманғы компьютерлер мен калькуляторлар кез келген бұрыштар үшін тригонометриялық функциялардың мәндерін сұраныс бойынша беру үшін әртүрлі техникаларды қолданады (Кантабутра, 1996). Ең көп таралған әдістердің бірі, әсіресе жоғары деңгейдегі процессорларда, қозғалмалы нүктелік бөлімдері бар процессорларда, полиномдық немесе рационалдық жуықтауды (мысалы, Чебышев жуықтауы, ең жақсы біртекті жуықтау, Паде жуықтауы және әдетте жоғары немесе өзгермелі дәлдік үшін Тейлор және Лоран қатарлары) ауқымды қысқартумен және кестелік іздеумен біріктіру болып табылады. Олар ең алдымен кішкентай кестедегі ең жақын бұрышты іздеп, содан кейін түзетуді есептеу үшін полиномды қолданады. Мұндай интерполяция кезінде дәлдікті сақтау оңай емес, бірақ Галдың дәл кестелері, Коди мен Уэйттің ауқымды қысқарту әдістері және Пейн мен Ханек радианды қысқарту алгоритмдері сияқты әдістерді осы мақсатта қолдануға болады. Төмендегі құрылғыларда аппараттық көбейтуші болмаған жағдайда, CORDIC (және оған байланысты техникалар) атты алгоритм тиімдірек, өйткені ол тек ығысулар мен қосуларды қолданады. Бұл әдістердің бәрі өнімділікті арттыру үшін аппараттық құралдарда жиі жүзеге асырылады. Тригонометриялық функцияны жуықтау үшін қолданылатын нақты полином, минимұстық жуықтау алгоритмінің жуықтауын пайдалана отырып, алдын ала жасалады. Өте жоғары дәлдікті есептеулер үшін, қатардың кеңею конвергенциясы тым баяу болғанда, тригонометриялық функцияларды арифметикалық-геометриялық орташамен жуықтауға болады, ол өзі тригонометриялық функцияны (кешенді) эллиптік интегралмен жуықтайды (Brent, 1976). 2π-нің рационалды еселері болатын бұрыштардың тригонометриялық функциялары алгебралық сандар болып табылады. a/b·2π мәндерін де Мойвр теңдігін n = a үшін a-шы бірлік түбіріне қолдану арқылы табуға болады, ол сонымен қатар кешенді жазықтықтағы x^b - 1 полиномының түбірі болып табылады. Мысалы, 2π ⋅ 5/37 косинусы мен синусы – 37-ші түбірдің 5-ші дәрежесінің cos(2π/37) + sin(2π/37)i нақты және жорамал бөліктері, бұл 37-ші дәрежелі x^37 − 1 полиномының түбірі. Бұл жағдайда Ньютон әдісі сияқты түбірді табу алгоритмі жоғарыда аталған арифметикалық-геометриялық орташа алгоритмдерінен әлдеқайда қарапайым, бірақ ұқсас асимптотикалық жылдамдықпен жақындайды. Дегенмен, соңғы алгоритмдер трансценденттік тригонометриялық тұрақтылар үшін қажет.
Modern computers and calculators use a variety of techniques to provide trigonometric function values on demand for arbitrary angles (Kantabutra, 1996). One common method, especially on higher end processors with floating point units, is to combine a polynomial or rational approximation (such as Chebyshev approximation, best uniform approximation, Padé approximation, and typically for higher or variable precisions, Taylor and Laurent series) with range reduction and a table lookup — they first look up the closest angle in a small table, and then use the polynomial to compute the correction. Maintaining precision while performing such interpolation is nontrivial, but methods like Gal's accurate tables, Cody and Waite range reduction, and Payne and Hanek radian reduction algorithms can be used for this purpose. On simpler devices that lack a hardware multiplier, there is an algorithm called CORDIC (as well as related techniques) that is more efficient, since it uses only shifts and additions. All of these methods are commonly implemented in hardware for performance reasons. The particular polynomial used to approximate a trigonometric function is generated ahead of time using some approximation of a minimax approximation algorithm. For very high precision calculations, when series expansion convergence becomes too slow, trigonometric functions can be approximated by the arithmetic geometric mean, which itself approximates the trigonometric function by the (complex) elliptic integral (Brent, 1976). Trigonometric functions of angles that are rational multiples of 2π are algebraic numbers. The values for a/b·2π can be found by applying de Moivre's identity for n = a to a bth root of unity, which is also a root of the polynomial xb 1 in the complex plane. For example, the cosine and sine of 2π ⋅ 5/37 are the real and imaginary parts, respectively, of the 5th power of the 37th root of unity cos(2π/37) + sin(2π/37)i, which is a root of the degree 37 polynomial x37 − 1. For this case, a root finding algorithm such as Newton's method is much simpler than the arithmetic geometric mean algorithms above while converging at a similar asymptotic rate. The latter algorithms are required for transcendental trigonometric constants, however.
Жарты бұрыш және бұрыш қосу формулалары
Тарихи тұрғыдан алғанда, тригонометриялық кестелерді есептеудің ең алғашқы әдісі және компьютерлер пайда болғанға дейін ең көп таралған әдіс, белгілі мәннен бастап (мысалы, sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0) жарты бұрыш және бұрыш қосу тригонометриялық формулаларын қайта-қайта қолдану болды. Бұл әдісті ежелгі астроном Птолемей қолданған, ол оларды астрономия туралы "Алмагест" трактатында келтірген. Қазіргі заманғы түрінде ол шығарған формулалар келесідей жазылады (x орналасқан квадрантқа байланысты таңбаларымен):
Historically, the earliest method by which trigonometric tables were computed, and probably the most common until the advent of computers, was to repeatedly apply the half angle and angle addition trigonometric identities starting from a known value (such as sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0). This method was used by the ancient astronomer Ptolemy, who derived them in the Almagest, a treatise on astronomy. In modern form, the identities he derived are stated as follows (with signs determined by the quadrant in which x lies):
Бұл формулалар Птолемейдің астрономиялық есептерге қолданылған хордалар кестесін құру үшін пайдаланылды. Осы формулалардың әр түрлі өзгерістері де мүмкін: мысалы, кейбір ерте тригонометриялық кестелерде синус пен косинус емес, синус пен версинус қолданылған.
These were used to construct Ptolemy's table of chords, which was applied to astronomical problems. Various other permutations on these identities are possible: for example, some early trigonometric tables used not sine and cosine, but sine and versine.