Введение
В математике группа L теории групп является ограниченным произведением венка.
Введение
Название группы происходит от рассмотрения группы как действующей на двойной бесконечной последовательности уличных фонарей, каждая из которых может быть включена или выключена, и фонарь, стоящий у какой-то лампы. Эквивалентное описание этого, называемое базовой группой, является бесконечной прямой суммой копий циклической группы, где соответствует свету, который выключен, и соответствует свету, который включен, и прямая сумма используется для обеспечения того, чтобы только конечная часть света была включена одновременно. Элемент of указывает положение осветителя и кодирует, какие лампы освещаются. Для группы существует два генератора: генератор t увеличивает k, так что светильник переходит к следующей лампе (t 1 уменьшает k), в то время как генератор a означает, что состояние лампы lk изменяется (с выключенной на включенную или от включенной на выключенную). Умножение групп выполняется путем "следующих" этих операций. Можно предположить, что в любой момент времени зажжено только конечное количество ламп, поскольку действие любого элемента L изменяется при предельно конечном количестве ламп. Однако количество зажженных ламп неограничено. Таким образом, групповое действие похоже на действие машины Тьюринга двумя способами. Машина Тьюринга имеет неограниченную память, но использует только ограниченное количество памяти в любой момент времени. Более того, голова машины Тьюринга аналогична ламповой лампе.
an infinite direct sum of copies of the cyclic group where corresponds to a light that is off and corresponds to a light that is on, and the direct sum is used to ensure that only finitely many lights are on at once. An element of gives the position of the lamplighter, and to encode which bulbs are illuminated. There are two generators for the group: the generator t increments k, so that the lamplighter moves to the next lamp (t 1 decrements k), while the generator a means that the state of lamp lk is changed (from off to on or from on to off). Group multiplication is done by "following" these operations. We may assume that only finitely many lamps are lit at any time, since the action of any element of L changes at most finitely many lamps. The number of lamps lit is, however, unbounded. The group action is thus similar to the action of a Turing machine in two ways. The Turing machine has unbounded memory, but has only used a finite amount of memory at any given time. Moreover, the Turing machine's head is analogous to the lamplighter.
Обобщения
Можно также определить группы фонарей с , , так что "лампы" могут иметь больше, чем просто опцию "выключен" и "включен". Классическая группа фонарей восстанавливается, когда