Введение

Логическая операция

В логике отрицание, также называемое логическим «не» или логическим дополнением, — это операция, которая преобразует высказывание в другое высказывание «не », означающее «неверно», записываемое , или . Оно интуитивно понимается как истинное, когда ложно, и ложное, когда истинно. Таким образом, отрицание является унарным логическим связующим элементом. Оно может применяться как операция к понятиям, высказываниям, значениям истинности или семантическим значениям в более общем смысле. В классической логике отрицание обычно отождествляется с функцией истинности, которая преобразует истину в ложь (и наоборот). В интуиционистской логике, согласно интерпретации Брауэра — Хейтинга — Колмогорова, отрицание высказывания — это высказывание, доказательствами которого являются опровержения .

Операнд отрицания — это неганд или негатум. | Не p
|
| style="text-align:center" |
| style="text-align:center" |
| Не p
|
| style="text-align:center" |
| style="text-align:center" |
| Не p
|
| style="text-align:center" |
|
| En p
|
| style="text-align:center" |
| style="text-align:center" |
|
|
| style="text-align:center" |
| style="text-align:center" |
|
|
| style="text-align:center" |
| style="text-align:center" |
|
|
|}

Обозначение — это польская нотация. В теории множеств также используется для обозначения «не входит в множество»: — это множество всех элементов U, которые не являются элементами A. Независимо от того, как оно обозначается или символизируется, отрицание можно прочитать как «неверно, что P», «не то, что P», или обычно более просто как «не P».

Двойная отрицательность

В рамках классической логики двойное отрицание, то есть отрицание отрицания высказывания, логически эквивалентно самому высказыванию. Выраженное в символьных терминах, в интуиционистской логике высказывание влечет за собой его двойное отрицание, но не наоборот. Это является одним из важных различий между классическим и интуиционистским отрицанием. Алгебраически, классическое отрицание называется инволюцией периода два. Однако в интуиционистской логике выполняется более слабая эквивалентность. Это происходит потому, что в интуиционистской логике является лишь сокращением для , и также верно . Композиция последней импликации с тройным отрицанием влечет за собой, что . Следовательно, в пропозициональном случае, высказывание классически доказуемо, если его двойное отрицание интуиционистски доказуемо. Этот результат известен как теорема Гливенко.

Отрицания количественных знаков

В логике первого порядка существует два квантора: универсальный квантор (означает "для всех") и экзистенциальный квантор (означает "существует"). Отрицание одного квантора является другим квантором (и ). Например, если предикат P означает "x смертен", а область определения x – множество всех людей, то означает "для любого человека x из всех людей x смертен" или "все люди смертны". Отрицание этого – , что означает "существует человек x из всех людей, который не смертен", или "существует бессмертный человек".

Правила вывода

Существует ряд эквивалентных способов формулирования правил отрицания. Обычно классическое отрицание в естественной дедукции формулируется с помощью примитивных правил вывода: введения отрицания (из вывода к обоим и , вывести ; это правило также называется reductio ad absurdum), устранения отрицания (из и вывести ; это правило также называется ex falso quodlibet), и устранения двойного отрицания (из вывести ). Правила интуиционистского отрицания получаются тем же способом, но без устранения двойного отрицания. Введение отрицания утверждает, что если абсурд может быть выведен в качестве заключения из , то не может быть истинным (т.е. ложно (классически) или опровержимо (интуиционистски) или и т.д.). Устранение отрицания утверждает, что всё следует из абсурда. Иногда устранение отрицания формулируется с использованием примитивного знака абсурда. В этом случае правило гласит, что из и следует абсурд. Вместе с устранением двойного отрицания можно вывести наше первоначально сформулированное правило, а именно, что всё следует из абсурда. Обычно интуиционистское отрицание от определяется как . Тогда введение и устранение отрицания являются лишь частными случаями введения импликации (условного доказательства) и устранения (modus ponens). В этом случае необходимо также добавить в качестве примитивного правила ex falso quodlibet.

Семантика Крипке

В семантике Крипке, где семантические значения формул являются множествами возможных миров, отрицание можно понимать как теоретико-множественное дополнение (см. также семантику возможных миров для получения дополнительной информации).