Введение

Линия или вектор, перпендикулярный кривой или поверхности.
Нормали к 3D-поверхностям.

В геометрии нормаль — это объект (например, линия, луч или вектор), перпендикулярный данному объекту. Например, нормаль к плоской кривой в заданной точке — это линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке. Нормальный вектор единичной длины называется единичным нормальным вектором. Вектор кривизны — это нормальный вектор, длина которого равна кривизне объекта. Умножение нормального вектора на -1 дает противоположный вектор, который может использоваться для обозначения сторон (например, внутренней или внешней). В трёхмерном пространстве нормаль к поверхности в точке P — это вектор, перпендикулярный касательной плоскости поверхности в точке P. Слово «нормаль» также используется как прилагательное: линия, нормальная к плоскости, нормальная составляющая силы, нормальный вектор и т. д. Понятие нормальности обобщается до ортогональности (прямых углов). Эта концепция была обобщена на дифференцируемые многообразия произвольной размерности, встроенные в евклидово пространство. Нормальное векторное пространство или нормальное пространство многообразия в точке — это множество векторов, ортогональных касательному пространству в этой точке. Нормальные векторы представляют особый интерес в случае гладких кривых и гладких поверхностей. Нормаль часто используется в 3D-компьютерной графике (обратите внимание на единственное число, так как определяется только одна нормаль) для определения ориентации поверхности относительно источника света при плоском затенении или ориентации каждой вершины поверхности для имитации изогнутой поверхности с затенением Фонга. Точка основания нормали в точке Q (аналогично основанию перпендикуляра) определяется как точка P на поверхности, в которой нормальный вектор содержит Q. Нормальное расстояние от точки Q до кривой или поверхности — это евклидово расстояние между Q и её основанием P.

Ориентация

Нормаль к (гипер)поверхности обычно масштабируется до единичной длины, но не имеет единственного направления, поскольку противоположное ей направление также является единичной нормалью. Для поверхности, являющейся топологической границей множества в трех измерениях, можно выделить две ориентации нормали: направленную внутрь и направленную наружу. Для ориентированной поверхности нормаль обычно определяется правилом правой руки или его аналогом в более высоких размерностях. Если нормаль построена как векторное произведение касательных векторов (как описано выше), то она является псевдовектором.

Применение

Поверхностные нормали полезны для определения поверхностных интегралов векторных полей. Поверхностные нормали широко используются в 3D-компьютерной графике для вычислений освещения (см. закон косинусов Ламберта), часто уточняемых с помощью нормального картирования. Слои рендеринга, содержащие информацию о поверхностных нормалях, могут использоваться в цифровом композитинге для изменения кажущегося освещения отрендеренных элементов. В компьютерном зрении формы 3D-объектов оцениваются на основе поверхностных нормалей с использованием фотометрического стерео. Нормальный вектор можно получить как градиент знаковой функции расстояния.

Нормальная в геометрической оптике

Нормаль – это луч, направленный перпендикулярно поверхности оптической среды в данной точке. При отражении света угол падения и угол отражения представляют собой, соответственно, угол между нормалью и падающим лучом (в плоскости падения) и угол между нормалью и отраженным лучом.