Введение

Целое число, равное сумме его собственных делителей.

В теории чисел совершенное число — это положительное целое число, которое равно сумме его положительных собственных делителей, то есть делителей, исключая само число. Например, число 6 имеет собственные делители 1, 2 и 3, и 1 + 2 + 3 = 6, следовательно, 6 является совершенным числом. Следующее совершенное число — 28, поскольку 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Сумма собственных делителей числа называется его аликвотной суммой, поэтому совершенное число равно своей аликвотной сумме. Эквивалентно, совершенное число — это число, которое составляет половину суммы всех его положительных делителей; в символах, где σ(n) — функция суммы делителей. Это определение восходит к древности и встречается уже в «Началах» Евклида (VII.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός (совершенное, идеальное или полное число). Евклид также доказал правило построения (IX.36), согласно которому число 2^(p-1) * (2^p - 1) является чётным совершенным числом, когда 2^p - 1 является простым числом вида 2^p - 1 для положительного целого p — что сейчас называется простым числом Мерсенна. Два тысячелетия спустя Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют эту форму. Это известно как теорема Евклида — Эйлера. Неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа, и существует ли бесконечно много совершенных чисел. Первые несколько совершенных чисел — 6, 28, 496 и 8128.

История

Примерно в 300 г. до н.э. Евклид показал, что если 2p − 1 является простым числом, то 2p−1(2p − 1) является совершенным. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными ранней греческой математике, а математик Никомах упомянул 8128 уже около 100 года н.э. В современной терминологии Никомах утверждает без доказательств, что каждое совершенное число имеет вид , где p – простое число. Он, по-видимому, не осознавал, что само n должно быть простым числом. Он также ошибочно утверждал, что совершенные числа попеременно заканчиваются на 6 или 8. (Первые пять совершенных чисел заканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; однако шестое число также заканчивается на 6.) Филон Александрийский в своей книге "О сотворении мира" в первом веке упоминает совершенные числа, утверждая, что мир был создан за 6 дней, а Луна обращается вокруг Земли за 28 дней, поскольку 6 и 28 – совершенные числа. За Филоном следует Ориген, а затем Дидим Слепой, который добавляет замечание, что существует только четыре совершенных числа, меньших 10 000. (Комментарий к Книге Бытия 1:14–19). Святой Августин определяет совершенные числа в "Граде Божьем" (книга XI, глава 30) в начале V века н.э., повторяя утверждение о том, что Бог создал мир за 6 дней, потому что 6 – наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336; 8 589 869 056; и 137 438 691 328) и перечислил ещё несколько, которые впоследствии оказались неверными. Первое известное европейское упоминание о пятом совершенном числе содержится в рукописи, написанной между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди идентифицировал шестое (8 589 869 056) и седьмое (137 438 691 328) совершенные числа, а также доказал, что каждое совершенное число, полученное по правилу Евклида, заканчивается на 6 или 8.

Связанные понятия

Сумма собственных делителей порождает различные типы чисел. Числа, сумма собственных делителей которых меньше самого числа, называются дефицитными, а числа, у которых она больше – избыточными. Эти термины, вместе с понятием совершенного числа, восходят к греческой нумерологии. Пара чисел, каждое из которых равно сумме собственных делителей другого, называется дружественными, а более крупные циклы чисел – общительными. Положительное целое число, для которого каждое меньшее положительное целое число является суммой различных его делителей, называется практическим числом. По определению, совершенное число является неподвижной точкой ограниченной функции делителей, где s(n) = σ(n) − n, а аликвотная последовательность, связанная с совершенным числом, является постоянной. Все совершенные числа также являются совершенными числами, или числами Гранвиля. Полусовершенное число – это натуральное число, равное сумме всех или части его собственных делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех его собственных делителей, является совершенным числом. Большинство избыточных чисел также являются полусовершенными; избыточные числа, которые не являются полусовершенными, называются странными числами.