Введение
В логике и математике логическое бикондициональное утверждение, также известное как материальное бикондициональное, эквивалентность, биимпликация или биентайлмент, является логической связкой, используемой для соединения двух высказываний и и формирования утверждения "если и только если" (часто сокращаемого как "ифф"), где известно как антецедент (или посылка), а – как консеквент (или заключение). В настоящее время обозначения для представления эквивалентности включают "логически эквивалентно как , так и ", а также булевский оператор XNOR (исключающее ИЛИ), который означает "оба или ни один". Семантически единственное различие между логическим бикондициональным и материальным условным утверждением заключается в случае, когда гипотеза (антецедент) ложна, а заключение (консеквент) истинно. В этом случае результат истинный для условного утверждения, но ложный для бикондиционального. Хотя Буль использовал в основном для классов, он также рассматривал случай, когда являются пропозициями в , и в этом случае обозначает эквивалентность. В работах Фреге (1879); Бернайса (1918); Гильберта (1927) (где использовалось как основной символ в статье); Гильберта и Аккермана (1928) (где также было введено , при этом использовалось как основной символ во всей книге; было принято многими последователями, например, Беккером в 1933); (в виде префикса) у Лукасевича (1929) и (в виде префикса) у Лукасевича (1951); Гейтинга (1930); Бурбаки (1954); Шазаля (1996); и так далее. Другие авторы также используют или иногда.
In logic and mathematics, the logical biconditional, also known as material biconditional or equivalence or biimplication or bientailment, is the logical connective used to conjoin two statements and to form the statement " if and only if " (often abbreviated as " iff "), where is known as the antecedent, and the consequent. Nowadays, notations to represent equivalence include
is logically equivalent to both and , and the XNOR (exclusive nor) Boolean operator, which means "both or neither". Semantically, the only case where a logical biconditional is different from a material conditional is the case where the hypothesis (antecedent) is false but the conclusion (consequent) is true. In this case, the result is true for the conditional, but false for the biconditional. Although Boole used mainly on classes, he also considered the case that are propositions in , and at the time is equivalence. in Frege in 1879;
in Bernays in 1918;
in Hilbert in 1927 (while he used as the main symbol in the article);
in Hilbert and Ackermann in 1928 (they also introduced while they use as the main symbol in the whole book; is adopted by many followers such as Becker in 1933);
(prefix) in Łukasiewicz in 1929 and (prefix) in Łukasiewicz in 1951;
in Heyting in 1930;
in Bourbaki in 1954;
in Chazal in 1996;
and so on. Somebody else also use or occasionally.
Определение
Логическое равенство (также известное как бикондиционал) — это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух высказываний, которая выдает значение «истина» тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда истинны. В этом случае, при интерпретации этих слов необходимо учитывать окружающий контекст. Например, утверждение «Я куплю тебе новый кошелек, если он тебе нужен» может быть истолковано как бикондиционал, поскольку говорящий не подразумевает, что покупка кошелька будет действительным исходом, независимо от того, нужен он или нет (как в случае условного утверждения). Однако, утверждение «Облачно, если идет дождь» обычно не подразумевает бикондиционал, так как облачность может сохраняться даже при отсутствии дождя.