Кіріспе
Екі бүтін санның жұбы олардың бөлгіштері арқылы байланысты. Достық сандар – екі әртүрлі табиғи сан, мұнда әрқайсысының дұрыс бөлгіштерінің қосындысы екінші санға тең. Яғни, s(a) = b және s(b) = a, мұнда s(n) = σ(n) – n нүктесіндегі n-нің өзінен басқа оң бөлгіштерінің қосындысы (сонымен қатар бөлгіш функциясын қараңыз). Достық сандардың ең кіші жұбы (220, 284) болып табылады. Олар достық, себебі 220-ның дұрыс бөлгіштері 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 және 110, олардың қосындысы 284; ал 284-тің дұрыс бөлгіштері 1, 2, 4, 71 және 142, олардың қосындысы 220. (Санның дұрыс бөлгіші – санның өзінен басқа оң көбейткіші. Мысалы, 6-ның дұрыс бөлгіштері 1, 2 және 3.) Бірінші он достық жұп: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) және (66928, 66992). (Сондай-ақ қараңыз және ) Достық сандардың жұптары шексіз көп пе, жоқ па, әлі белгісіз. Достық сандар жұбы 2-ші периоды бар аликвот тізбегін құрайды. Бұған байланысты түсінік – толық сан, яғни өзінің дұрыс бөлгіштерінің қосындысына тең сан, яғни 1-ші периоды бар аликвот тізбегін құрайтын сан. 2-ден үлкен периоды бар аликвот тізбегінің мүшелері әлеуметтік сандар деп аталады.
Amicable numbers are two different natural numbers related in such a way that the sum of the proper divisors of each is equal to the other number. That is, s(a)=b and s(b)=a, where s(n)=σ(n) n is equal to the sum of positive divisors of n except n itself (see also divisor function). The smallest pair of amicable numbers is (220, 284). They are amicable because the proper divisors of 220 are 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 and 110, of which the sum is 284; and the proper divisors of 284 are 1, 2, 4, 71 and 142, of which the sum is 220. (A proper divisor of a number is a positive factor of that number other than the number itself. For example, the proper divisors of 6 are 1, 2, and 3.) The first ten amicable pairs are: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), and (66928, 66992). (Also see and ) It is unknown if there are infinitely many pairs of amicable numbers. A pair of amicable numbers constitutes an aliquot sequence of period 2. A related concept is that of a perfect number, which is a number that equals the sum of its own proper divisors, in other words a number which forms an aliquot sequence of period 1. Numbers that are members of an aliquot sequence with period greater than 2 are known as sociable numbers.
Өндірістік ереже
Бұл ережелер достас сандардың кейбір жұптарын тудырса да, көптеген басқа жұптар белгілі, сондықтан бұл ережелер толық емес. Атап айтқанда, төмендегі екі ереже тек жұп достас сандарды ғана шығарады, сондықтан олар 210 = 2·3·5·7 санына өзіндік жақын болатын достас сандарды табу мәселесіне қатысты ешқандай қызығушылық тудырмайды, ал 30 = 2·3·5 санына өзіндік жақын болатын 1000-нан астам жұп белгілі [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].
Табит ибн Құра теоремасы
Табит ибн Құра теоремасы – 9 ғасырда араб математигі Табит ибн Құраның ашқан достық сандарды анықтау әдісі.
Ойлер ережесі
Ойлер ережесі – Табит ибн Курра теоремасының жалпылауы. Егер n > m > 0 бүтін сандар болса және p, q, r – жай сандар болса, онда 2^(n) × p × q және 2^(n) × r – достық сандар жұбы. Табит ибн Курра теоремасы Ойлер ережесінің басқалары белгісіз қосымша достық жұптар жасайтын ерекше жағдайына сәйкес келеді. Ойлер (1747 және 1750) барлығы 58 жаңа жұп тапты, бұл сол кезде белгілі жұптардың санын 61-ге дейін арттырды.
where n > m > 0 are integers and p, q, r are prime numbers, then 2^(n) × p × q and 2^(n) × r are a pair of amicable numbers. Thābit ibn Qurra's theorem corresponds to the case Euler's rule creates additional amicable pairs for with no others being known. Euler (1747 & 1750) overall found 58 new pairs increasing the number of pairs that were then known to 61.
Тұрақты жұптар
(m, n) болсын – m < n шарты орындалатын достық сандар жұбы, және g – m мен n-нің ең үлкен ортақ бөлгіші. Егер M және N екеуі де g-ге өзіндік жай және квадраттық емес болса, онда (m, n) жұбы тұрақты деп аталады; әйтпесе, ол ретсіз немесе экзотикалық деп аталады. Егер (m, n) тұрақты болса және M мен N-нің i және j жай көбейткіштері болса, онда (m, n) (i, j) типінде деп айтылады. Мысалы, ең үлкен ортақ бөлгіші 4, сондықтан және демек, (220, 284) (2, 1) типіндегі тұрақты жұп.
Түйелік достық жұптар
Достық жұп (m, n) егер m мен n аралығында басқа достық жұптарға кіретін бүтін сандар болмаса, қос жұп деп аталады.
Басқа нәтижелер
Барлық белгілі жағдайларда, жұптың сандары немесе екеуі де жұп, немесе екеуі де тақ болады. Жұп және тақ достық сандар жұбы бар ма, жоқ па, белгісіз, бірақ егер бар болса, жұп сан квадрат сан немесе екі еселенген квадрат сан болуы керек, ал тақ сан квадрат сан болуы керек. Дегенмен, екі мүшесінде әртүрлі ең кіші жай көбейткіштері бар достық сандар бар: мұндай жеті жұп белгілі. Сондай-ақ, әрбір белгілі жұп кем дегенде бір ортақ жай көбейткішпен бөліседі. Өзара жай достық сандар жұбы бар ма, жоқ па, белгісіз, бірақ егер бар болса, екеуінің көбейтіндісі 1067-ден үлкен болуы керек. Сонымен қатар, Табит формуласымен (жоғарыда) немесе оған ұқсас формуламен өзара жай достық сандар жұбын жасау мүмкін емес. 1955 жылы Пол Эрдос достық сандардың оң бүтін сандарға қатысты тығыздығы 0 екенін көрсетті. 1968 жылы Мартин Гарднер өз заманында белгілі болған көптеген жұп достық сандардың қосындылары 9-ға бөлінетінін атап өтті, ал ерекше жағдайларды сипаттау ережесі алынды. Достық жұптардың қосындысы туралы болжам бойынша, достық сандардың саны шексіздікке жақындағанда, онға бөлінетін достық жұптардың қосындысының пайызы 100%-ға жақындайды. 10 000-ға дейінгі барлық достық жұптар жұп болғанымен, тақ достық жұптардың үлесі үлкен сандарға қарай тұрақты түрде өседі және олардың саны жұп достық жұптардан көп болуы мүмкін (OEIS-те A360054). Гаусс достық жұптары да бар.
Достық топтар
Достық сандар мен теңдеуін қанағаттандырады, оларды бірге былай жазуға болады. Бұл үлкен топтамаларға жалпыланады, мысалы, , мұнда біз талап етеміз.
Мысалы, (1980, 2016, 2556) – достық үштік, ал (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) – достық төрттік. Достық көптіктер де ұқсас анықталады және бұл ұғымды одан да кеңейтеді.
Amicable multisets are defined analogously and generalizes this a bit further .
Әлеуметтік сандар
Әлеуметтік сандар — циклдік тізімдегі сандар (ұзындығы 2-ден асатын), онда әрбір сан алдыңғы санның дұрыс бөлгіштерінің қосындысына тең болады. Мысалы, — 4-ретті әлеуметтік сандар.
Халықтық мәдениеттегі сілтемелер
Достық сандар Йоко Огаваның "Үй шаруасы мен профессор" романында және оған негізделген жапон фильмінде кездеседі. Пол Остердің "Америкалық өмірдің шынайы оқиғалары" атты әңгімелер жинағында Алекс Галттың "Математикалық афродизиак" әңгімесінде достық сандар маңызды рөл атқарады. Достық сандар Реджинальд Хиллдің "Жұртша үй" романында қысқаша айтылады. Достық сандар Денис Гедждің "Тәттіқұйрықтың теоремасы" атты француз романында еске алынады. Достық сандар Persona 4 Golden JRPG ойынында айтылады. Достық сандар Rewrite визуалды романында көрсетілген. Достық сандар (220, 284) 2017 жылғы корей драмасы "Andante" –ның 13-ші эпизодында пайда болады. Достық сандар грек фильмі "Басқа мен" (2016) фильмінде кездеседі. Достық сандар Брайан Клеггтің "Сандар шынайы ма?" кітабында талқыланады. Достық сандар 2020 жылғы Колум Макканнның "Apeirogon" романында еске алынады.