Геометрический метод настройки музыкальных инструментов Даниэля Штрале

Введение

Конструкция Штрале — это геометрический метод определения длин для ряда вибрирующих струн с одинаковым диаметром и натяжением, чтобы получить звуковые высоты в определенной рациональной системе темперации. Она была впервые опубликована в 1743 году в трудах Шведской королевской академии наук шведским мастером-органщиком Даниэлем Штрале (1700–1746). Секретарь Академии Якоб Фаггот добавил к статье набор неверно рассчитанных высот, и эти цифры были воспроизведены Фридрихом Вильгельмом Марпургом в «Versuch über die musikalische Temperatur» в 1776 году. В нескольких немецких учебниках, опубликованных около 1800 года, сообщалось, что ошибка была впервые обнаружена Кристолибом Бенедиктом Функом в 1779 году, однако сама конструкция, по-видимому, не привлекла особого внимания до середины двадцатого века, когда теоретик строя Дж. Мюррей Барбур представил её как хороший метод для приближения равномерной темперации и подобных экспонент малых корней, а также обобщил лежащие в её основе математические принципы. Она стала известна как инструмент для изготовления ладов музыкальных инструментов благодаря статьям математиков Иэна Стюарта и Исаака Якоба Шенберга, которые высоко оценили её как уникальное и удивительно элегантное решение, разработанное самородком. Название «Strähle», используемое в современных англоязычных работах, по-видимому, является результатом ошибки транскрипции в тексте Марпурга, где старомодный диакритический знак «e» был заменен поднятой кольцевой чертой.

Предыстория

Даниэль П. Страхле был активным строителем органов в центральной Швеции во второй четверти восемнадцатого века. Он работал подмастерьем у известного стокгольмского органного мастера Йохана Николаса Кахмана, и в 1741 году, спустя четыре года после смерти Кахмана, Страхле получил привилегию на изготовление органов. Согласно системе, действовавшей в Швеции в то время, привилегия – это предоставленная монополия, которой обладали лишь немногие наиболее авторитетные мастера каждого типа музыкальных инструментов, – давала ему законное право строить и ремонтировать органы, обучать и экзаменовать работников, а также служила гарантией качества работы и образования мастера. Орган его работы 1743 года сохранился в первозданном виде в часовне дворца Стромсхольм; известно также, что он изготавливал клавикорды, и примечательный образец 1738 года с необычным строем струн и конструкцией, подписанный им, находится в коллекции Стокгольмского музыкального музея. Среди его учеников были его племянник Петтер Страхле и Йонас Грен, партнеры в знаменитой стокгольмской органной фирме Gren & Stråhle. Согласно Аврааму Абрахамссону Хюльферсу в его книге «Historisk Afhandling om Musik och Instrumenter», опубликованной в 1773 году, сам Страхле изучал механику (предположительно, включая математику) у основателя Шведской академии наук Кристофера Польхема. Он умер в 1746 году в Лёвстабруке, в северной части Уппланда. Страхле опубликовал свою конструкцию как «новое изобретение для определения темперации при настройке клавикорда и подобных инструментов» в статье, напечатанной в четвертом томе трудов недавно созданной Королевской шведской академии наук, в которые вошли работы выдающихся ученых и членов Академии – Польхема, Карла Линнея, Карла Фредрика Меннандера, Августина Эренсварда и Самуэля Клингенштерна. По словам органолога Евы Хелениус, музыкальная настройка была предметом оживленных дебатов в Академии в 1740-х годах, и хотя сам Страхле не был ее членом, его статья стала третьей по счету, посвященной практическим вопросам музыки, опубликованной Академией – первые две принадлежали Нильсу Брелину, любителю-музыканту, пастору и члену Академии, и касались изобретений, применимых к клавесинам и клавикордам. В своей статье Страхле писал, что разработал этот метод «после долгих размышлений и многочисленных попыток» с целью создания инструмента для определения длины струн при настройке темперации, которую он описал как ту, что делает биения ("sväfningar") наиболее мягкими для слуха, а также обеспечивает наиболее полезное и равномерное расположение тонов. Его инструкции приводят к нерегулярной настройке с диапазоном темперационных интервалов, схожих с более известными настройками, опубликованными в тот же период, однако он не предоставил никаких дополнительных комментариев или описания самой настройки; сегодня ее обычно считают приближением к равному темпераменту. Он также не указал никаких преимуществ своей конструкции, которая позволяет получать точные и воспроизводимые результаты без вычислений или измерений, используя лишь линейку и циркуль; он описал конструкцию всего в пяти шагах, и она менее итеративна, чем арифметические методы, описанные Домом Бедо де Селем для определения длины органных труб в чистой интонации или Винченцо Галилеем для определения положения ладов струнных инструментов в приблизительном равном темпераменте, а также геометрические методы, описанные Джозеффо Зарлино и Марин Мерсенном, – все они гораздо более известны, чем метод Страхле. В заключение Страхле отметил, что он применил эту систему к клавикорду, хотя настройку, а также метод определения набора звучащих длин можно использовать для многих других музыкальных инструментов, однако мало что свидетельствует о том, что она получила более широкое распространение, кроме двух примеров, описанных в статье, местонахождение которых в настоящее время неизвестно.

Daniel P. Stråhle was active as an organ builder in central Sweden in the second quarter of the eighteenth century. He had worked as a journeyman for the important Stockholm organ builder Johan Niclas Cahman and, in 1741, four years after Cahman's death, Stråhle was granted his privilege for organ making. According to the system in force in Sweden at the time a privilege, a granted monopoly which was held by only a few of the most established makers of each type of musical instruments, gave him the legal right to build and repair organs, as well as to train and examine workers, and it also served as a guarantee of the quality of the work and education of the maker. An organ by him from 1743 is preserved in its original condition at the chapel at Strömsholm Palace; he is also known to have made clavichords, and a notable example with an unusual string scale and construction signed by him and dated 1738 is owned by the Stockholm Music Museum. His apprentices included his nephew Petter Stråhle and Jonas Gren, partners in the famous Stockholm organ builders Gren & Stråhle, and according to Abraham Abrahamsson Hülphers in his book Historisk Afhandling om Musik och Instrumenter published in 1773, Stråhle himself had studied mechanics (which has been assumed to have included mathematics) with Swedish Academy of Science founding member Christopher Polhem. He died in 1746 at Lövstabruk in northern Uppland. Stråhle published his construction as a "new invention, to determine the Temperament in tuning, for the pitches of the clavichord and similar instruments" in an article that appeared in the fourth volume of the proceedings of the newly formed Royal Swedish Academy of Sciences, which included articles by prominent scholars and Academy members Polhem, Carl Linnaeus, Carl Fredrik Mennander, Augustin Ehrensvärd, and Samuel Klingenstierna. According to organologist Eva Helenius musical tuning was a subject of intense debate in the Academy during the 1740s, and though Stråhle himself was not a member his was the third article on practical musical topics published by the Academy—the first two were by amateur musical instrument maker, minister, and Academy member Nils Brelin which related inventions applicable to harpsichords and clavichords. Stråhle wrote in his article that he had developed the method with "some thought and a great number of attempts" for the purpose of creating a gauge for the lengths of the strings in the temperament which he described as that which made the tempering ("sväfningar") mildest for the ear, as well comprising as the most useful and even arrangement of the pitches. His instructions produce an irregular tuning with a range of tempered intervals similar to better known tunings published during the same period, but he provided no further comments or description about the tuning itself; today it is generally considered to be an approximation of equal temperament. He also did not elaborate upon any advantages of his construction, which can produce accurate and repeatable results without calculations or measurement with only a straightedge and dividers; he described the construction in only five steps, and it is less iterative than arithmetic methods described by Dom Bédos de Celles method for determining organ pipe lengths in just intonation or Vincenzo Galilei for determining string fret positions in approximate equal temperament, and geometrical methods such as those described by Gioseffo Zarlino and Marin Mersenne—all of which are much better known than Stråhle's. Stråhle concluded by stating that he had applied the system to a clavichord, although the tuning as well as the method of determining a set of sounding lengths can be used for many other musical instruments, but there is little evidence showing whether it was put into more widespread practice other than the two examples described in the article, and whose whereabouts today are unknown.

Строительство

Страле сначала поручил нарисовать отрезок QR удобной длины, разделенный на двенадцать равных частей, с точками, обозначенными I–XIII. QR затем используется в качестве основания равнобедренного треугольника со сторонами OQ и OR, вдвое превышающими длину QR, и проведены лучи из вершины O через каждую из пронумерованных точек на основании. Наконец, из вершины R под углом проведена линия через точку P на противоположной стороне треугольника, отстоящую от Q на семь единиц, к точке M, расположенной в два раза дальше от R, чем P. Длина MR определяет длину самого низкого звучащего тона, а длина MP – самую высокую из длин струн, полученных в результате построения, а звучащие длины между ними определяются расстояниями от M до точек пересечения MR с линиями OI–O XII, обозначенных цифрами от 1 до 12. Страле писал, что он назвал линию PR «Linea Musica», что, как отметил Хелениус, был термин, использованный Полхемом в неопубликованной, но более ранней рукописи, хранящейся в Linköping Stifts och Landsbibliotek, и сопровождаемой заметками композитора и геометра Харальда Валлерия (1646–1716) и бывшего работодателя Страле, Й. Н. Кахмана. Он, очевидно, не был музыкантом, хотя Хелениус отметил его интерес к музыкальным темам с математической точки зрения и задокументировал его периодические контакты с производителями музыкальных инструментов через Академию. Хелениус также выдвинула теорию о том, что Фаггот оказал более активное, хотя и косвенное и посмертное влияние на создание музыкальных инструментов в Швеции, утверждая, что он, возможно, предложил использовать длинные теноровые струны в двух экспериментальных инструментах, созданных Йоханом Броманом в 1756 году, что, по ее мнению, повлияло на тип клавикорда, изготавливаемого в Швеции в конце восемнадцатого и начале девятнадцатого веков. Обе статьи были опубликованы в немецком издании трудов Академии в 1751 году, а таблицу рассчитанных Фагготом длин струн впоследствии включил Марпург в свой «Versuch über die musikalische Temperatur» 1776 года. Созданная им настройка включает интервалы, выходящие за рамки диапазона, обычно используемого в западной академической музыке. Фанку приписывают обнаружение этого несоответствия в «Физическом словаре» Гелера в 1791 году и в «Физическом словаре» Фишера в 1804 году, а об ошибке указал Эрнст Хладни в «Акустике» в 1830 году. В Швеции в тот же период подобных комментариев опубликовано не было. В этих работах ошибка Фаггота объясняется использованием значения из столбца тангенсов вместо столбца синусов в логарифмических таблицах. Сама ошибка заключалась в том, что угол RP был примерно на семь градусов больше, чем следовало, что привело к увеличению эффективной длины QP до 8,605. Это значительно преувеличило погрешности темперации по сравнению с настройками, которые он представил вместе с ней, хотя неясно, заметил ли Фаггот эти очевидные недостатки, поскольку он не сделал никаких дальнейших комментариев о построении или темперации Страле в статье.

Stråhle instructed first to draw a line segment QR of a convenient length divided in twelve equal parts, with points labeled I through XIII. QR is then used as the base of an isosceles triangle with sides OQ and OR twice as long as QR, and rays drawn from vertex O through each of the numbered points on the base. Finally a line is drawn from vertex R at an angle through a point P on the opposite leg of the triangle seven units from Q to a point M, located at twice the distance from R as P. The length of MR gives the length of the lowest sounding pitch, and the length of MP the highest of the string lengths generated by the construction, and the sounding lengths between them are determined by the distances from M to the intersections of MR with lines O I through O XII, at points labeled 1 through 12. Stråhle wrote that he had named the line PR "Linea Musica", which Helenius noted was a term Polhem had used in an undated but earlier manuscript now located at the Linköping Stifts och Landsbibliotek and which is accompanied by notes from composer and geometer Harald Vallerius (1646–1716) and Stråhle's former employer J. N. Cahman. He apparently was not a musician, though Helenius described he was interested in musical topics from a mathematical perspective and documented that he periodically came in contact with musical instrument makers through the Academy. Helenius also presented a theory that Faggot had a more active, if indirect and posthumous influence on the construction of musical instruments in Sweden, claiming that he may have suggested the long tenor strings used in two experimental instruments built by Johan Broman in 1756 which she proposed influenced the type of clavichord built in Sweden in the late eighteenth and early nineteenth centuries. +Faggot's and Stråhle's string lengths and their relative pitches note Faggot N. 3 Stråhle note length cents length cents ratio C 10000 0 10000 0 1/1 c ♯ 9379 111 9432 101 211/199 d 8811 219 8899 202 109/97 d ♯ 8290 325 8400 302 25/21 e 7809 428 7930 401 29/23 f 7365 529 7490 500 239/179 f ♯ 6953 629 7073 600 41/29 g 6570 727 6676 699 253/169 g ♯ 6213 824 6308 798 65/41 a 5881 919 5955 897 89/53 a ♯ 5568 1014 5621 997 137/77 b 5274 1108 5303 1098 281/149 c 5000 1200 5000 1200 2/1

In his analysis of Stråhle's article Faggot outlined the trigonometric steps he had used to calculate the sounding lengths of the individual pitches, for the purpose of comparing the new tuning produced by Stråhle's method, against a tuning with pure thirds, fourths and fifths (labeled "N. 1" in the table), and equal temperament, which he called only "an older temperament and [which] is introduced in Mr. Mattheson's Critica Musica" ("N. 2"), He intended the resulting set of figures to show whether "the tuning of the pitches, following the previously described invention, satisfies the ear with pleasant sounds and with better evenness, in the Musical pitches on a keyboard instrument, and therefore teaches understanding better can judge than the old and previously known manner of tuning, when the eye can see what the ear hears." Both articles were reproduced in a German edition of the Academy's proceedings published in 1751, and a table of Faggot's calculated string lengths was subsequently included by Marpurg on his 1776 Versuch über die musikalische Temperatur, and the tuning he created includes intervals tuned outside of the range conventionally used in Western art music. Funk is credited the observation of this discrepancy in Gehler's Physikalisches Wörterbuch in 1791, and Fischer's Physikalisches Wörterbuch in 1804, and the error was pointed out by Ernst Chladni in Die Akustik in 1830. No similar comments appear to have been published in Sweden during the same period. These works report Faggot's mistake as the result of having used a value from the tangent instead of the sine column from the logarithmic tables. The error itself consisted of making the angle of RP about seven degrees too great, which caused the effective length of QP to increase to 8.605. This greatly exaggerated the errors of the temperament compared to the tunings he presented alongside it, although it is not clear whether Faggot observed these apparent defects as he made no further comments about Stråhle's construction or temperament in the article.

Настройка

Настройка, выполненная по инструкциям Страле, представляет собой рациональный темперамент с диапазоном квинт от 696 до 704 центов, что примерно на один цент ниже среднетонной квинты и на два цента выше чистой 3:2; диапазон больших терций составляет от 396 до 404 центов, или десять центов выше чистой 5/4 и три цента ниже пифагорейской 81/64. Эти интервалы находятся в пределах допустимого, однако в них отсутствует распределение лучших терций по наиболее часто используемым тональностям, характерное для наиболее популярных настроек, опубликованных в XVII и XVIII веках, известных как хорошо темперированные строи. Лучшая квинта – чистая в тональности F♯ – или в высоте, заданной MB, которая имеет терцию в 398 центов, а лучшая терция – в тональности E, которая имеет квинту в 697 центов; наилучшее сочетание этих двух интервалов – в тональности F, а наихудшее – в тональности B♭.

Усовершенствования Шенбергом методов Барбура

Статья была опубликована с двумя примечаниями, добавленными ее рецензентом, Айзеком Якобом Шенбергом. Он отметил, что формула, выведенная Барбуром, являлась дробно-линейным преобразованием и, следовательно, требовала применения принципа перспективности, а также то, что поскольку три пары соответствующих точек на двух прямых однозначно определяют проективное соответствие, требование Барбура о перпендикулярности OA к QR было излишним. Исключение этого шага позволяет более удобно выбирать длину QR и сокращает число операций. Шенберг также указал на то, что уравнение Барбура можно рассматривать как интерполяцию экспоненциальной кривой через три точки: m=0, m=1/2 и m=1, что он развил в короткой статье под названием «О расположении ладов на гитаре», опубликованной в журнале American Mathematical Monthly в 1976 году. В этой статье заключалось краткое обсуждение случайного использования Страле для обозначения полуоктавы, которая является одним из сходящихся членов разложения в непрерывную дробь числа , и наилучшим рациональным приближением к нему при заданном знаменателе.

Стюарт и непрерывные дробьи

Использование дробных приближений числа π в конструкции Страхеля было расширено Яном Стюартом, который описал эту конструкцию в статье "A Well Tempered Calculator", вошедшей в его книгу 1992 года "Another Fine Math You've Got Me Into", а также в статье "Faggot's Fretful Fiasco", опубликованной в сборнике "Music and Mathematics" в 2006 году. Стюарт рассматривал конструкцию с точки зрения проективной геометрии и, рассматривая её изначально как дробно-линейную функцию вида , получил те же формулы, что и Барбур. Он отметил, что приближение для π, неявно содержащееся в конструкции, равно , что является следующим нижним приближением (конвергентом) к полуоктаве, которую она генерирует. Это является следствием упрощения функции до для m = 0,5, где – генерирующее приближение.

Аналогичные методы, применяемые к музыкальным инструментам

Геометрические и арифметические методы деления монохорд и грифов музыкальных инструментов, собранные Барбуром, были предназначены для иллюстрации различных строев, которые каждый из них представляет или подразумевает. Работы Шёнберга и Стюарта сохранили схожий фокус и отсылки. Три учебника по изготовлению фортепиано, не включенные ими в рассмотрение, демонстрируют конструкции, аналогичные конструкциям Страле для разработки новых инструментов, но рассматривают настройку отдельных нот независимо. Обе конструкции используют неперпендикулярную форму, как отмечал Шёнберг в книге Барбура «Геометрическое приближение к корням чисел», и одна из них позволяет достичь оптимальных результатов, в то время как другая демонстрирует применение с корнем, отличным от 2.

Кутзинг

Карл Кюцинг, производитель органов и фортепиано в Берне в середине XIX века, написал в своей первой книге о конструкции фортепиано, Theoretisch praktisches Handbuch der Fortepiano Baukunst от 1833 года, что он разработал простой метод определения звучащих длин в октаве, прочитав о различных геометрических построениях, описанных в выпуске журнала Marpurg's Historisch kritischen Beitragen zur Aufnahme der Musik; он утверждал, что деления будут очень точными и что данную конструкцию можно использовать для ладирования гитар. Кюцинг представил это построение после описания большого циркуля, предназначенного для той же цели. Он не включил ни один из этих методов в Das Wissenschaftliche der Fortepiano Baukunst, опубликованную одиннадцать лет спустя, где он вычислял длины, используя соотношение примерно 18:35 между длинами октав, и предложил новый метод с непрерывной кривой, скорректированной с учетом фактических диаметров струн, чтобы уменьшить тональные различия, вызванные скачками напряжения. Кюцинг предписал провести отрезок прямой bc — представляющий известную звучащую длину — под углом 45 градусов к прямой ba, и от его октавы в точке d, расположенной посередине между b и c, провести линию, перпендикулярную ba, пересекающую ее в e, а затем разделить de на 12 равных частей. Точка a на ab определяется путем переноса длин de и db от точки e в сторону от b, и проведения лучей из a через точки, делящие de, и пересекающих bc для определения различных конечных точек длин струн от c. Эта схема эквивалентна использованию среднего пропорционального для определения точки a. Переобозначенная схема с инструкциями была включена в брошюру, напечатанную крупнейшим английским производителем фортепиано John Broadwood & Sons для сопровождения их экспоната на Международной выставке 1862 года в Лондоне, где они описали ее как «практический метод определения длины струн для каждой ноты октавы при равном темпераменте; таким образом, при использовании струн одинакового размера напряжение на каждой ноте будет одинаковым». Она также была воспроизведена, вместе с циркулем, Джакомо Сиверсом, пианиностроителем, родившимся в России и работавшим в Неаполе, в его книге 1868 года «Il Pianoforte», где он утверждал, что это лучший практический метод определения звучащих длин струн в фортепиано. Как и Бродвуд, Сиверс не указал источник этого метода или степень его использования и не объяснил лежащую в его основе теорию. Он также не предполагал, что он может быть полезен где-либо, кроме как при проектировании фортепиано.

Carl Kützing, an organ and piano maker in Bern during the middle of the 19th century wrote in his first book on piano design, Theoretisch praktisches Handbuch der Fortepiano Baukunst from 1833, that he devised a simple method of determining the sounding lengths in an octave after reading of the different geometric constructions described in an issue of Marpurg's Historisch kritischen Beitragen zur Aufnahme der Musik; he stated that the divisions would be very accurate and that the construction could be used for fretting guitars. Kützing introduced the construction following a description of a large sector to be made for the same purpose. He did not include either method in Das Wissenschaftliche der Fortepiano Baukunst published eleven years later, where he calculated lengths using approximately 18:35 ratios between octave lengths and proposed a new method with a non continuous curve adjusted for actual wire diameters in order to reduce tonal differences from jumps in tension. Kützing instructed to extend a line segment bc—representing a known sounding length—at 45 degrees to the line ba, and from its octave at point d located midway between b and c, to extend a line perpendicular to ba intersecting it at e, then to divide de into 12 equal parts. The point a on ab is located by transferring the lengths of de, db, from e away from b, and rays extended from a through the points dividing de and intersecting bc to locate the different endpoints of the string lengths from c.

This arrangement is equivalent to using the mean proportional to locate a. A re labeled diagram with instructions was included in a pamphlet printed by England's largest piano manufacturers John Broadwood & Sons to accompany their display at the 1862 International Exhibition in London, where they described it as "a practical method of finding the lengths of Strings, for every note of the Octave on equal temperament; so that with wire of the same size the tension on each note shall be the same." It was also reproduced, alongside a sector, by Giacomo Sievers, a Russian born piano maker working in Naples, in his 1868 book Il Pianoforte, where he claimed it was the best practical method for determining sounding lengths of strings in a piano. Like Broadwood, Sievers did not describe its source or extent of its use, and did not explain any theory behind it. He also did not suggest it had any use beyond designing pianos.

Вольфенден

Английский мастер по изготовлению фортепиано Сэмюэл Вольфенден представил конструкцию для определения длин простых струн в фортепиано, за исключением самых низких, в трактате «Об искусстве изготовления фортепиано», опубликованном в 1916 году. Как и Сиверс, он не уточнил, была ли это оригинальная методика или общепринятая, лишь отметив, что это «очень практичный метод определения длины струн, который я полностью использовал в прошлые годы». Он добавил, что на момент написания ему казалось «немного проще» вычислять длины напрямую, и предшествовал описанию таблицей вычисленных длин для пяти верхних октав фортепиано. Он включил частоты в равном темпере, но опубликовал инструкции по настройке на слух только в своем дополнительном издании 1927 года. Вольфенден решительно выступал за выравнивание натяжения простых струн, что он предлагал достичь в верхнем регистре, комбинируя соотношение 9:17 между длинами октав с равномерным изменением диаметров струн (достигая несколько более стабильных результатов по сравнению с аналогичной системой, опубликованной Зигфридом Хансингом в 1888 году), в отличие от шкалы Сиверса, график струн которой приводит к большему натяжению для более толстых, низких нот. Как и Сиверс, Вольфенден построил все звучащие длины на одном сегменте под углом 45 градусов к базовым линиям для лучей, начиная с точек, расположенных для каждой ноты До в диапазоне на расстоянии 54, 102, 192,5, 364 и 688 мм от верхней точки. Четыре вершины лучей затем определяются точками пересечения горизонтальных базовых линий, проведенных от нижней ноты До в каждой октаве, со второй линией, отходящей от верхней начальной точки для линий струн, однако он указал, что обе линии должны быть под углом 51,5 градуса к базовым линиям, а базовые линии должны иметь соотношение 35:13 к разнице между двумя длинами октав. Метод Вольфендена приближенно равен 1,3775 и эквивалентен форме Барбура. С учетом меньших октав это дает 596 центов на полуоктиву, что составляет ошибку примерно в 1 мм на ноте F4 (f′) по сравнению с его вычисленными значениями.

English piano maker Samuel Wolfenden presented a construction for determining all but the lowest sounding plain string lengths in a piano in A Treatise on the Art of Pianoforte Construction published in 1916; like Sievers, he did not explain whether this was an original procedure or one in common use, commenting only that it was "a very practical method of determining string lengths, and in past years I used it altogether". He added that at the time of writing he found calculating the lengths directly "somewhat easier" and had preceded the description with a table of computed lengths for the top five octaves of a piano. He included frequencies in equal temperament, but only published aural tuning instructions in his 1927 supplement. Wolfenden explicitly advocated equalizing the tension of the plain strings which he proposed to accomplish in the upper range by combining a 9:17 ratio between octave lengths with a uniform change in string diameters (achieving slightly more consistent results over the otherwise similar system published by Siegfried Hansing in 1888), in contrast to Sievers scale whose stringing schedule results in higher tension for the thicker, lower sounding pitches. Like Sievers, Wolfenden constructed all of the sounding lengths on a single segment at 45 degrees from the base lines for the rays, starting with points located for each C in the range designed at 54, 102, 192.5, 364, and 688mm from the upper point. The four vertices for the rays are then located by the intersections of the horizontal base lines extended from the lower C in each octave with a second line angled from the upper starting point for the string line, however, which he specified should both be at 51.5 degrees to the base lines and that the base lines have a 35:13 ratio with the difference between the two octave lengths. Wolfenden's method approximates with roughly 1.3775, and is equivalent to in Barbour's form. Compensating for its smaller octaves this produces 596 cent half octaves, an error of about 1mm at note F4 (f′) compared with his calculated figures.