Дэниел Штрале: Геометриялық әуенді түзету құрылысы және музыкалық аспаптар жасау өнері
Strähle construction
Дэниел Штрале жасаған геометриялық әдіс, музыкалық аспаптарды (скрипка, т.б.) дұрыс тембрмен құрастыруға көмектеседі. Тең темпераментті табуға арналған!
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Strähle құрылымы – белгілі бір рационалды музыкалық құралымдағы дыбыс биіктіктерін алу үшін бірдей диаметрлі және кернеулі тербелмелі ішектер тізбегінің ұзындығын анықтауға арналған геометриялық әдіс. Ол алғаш рет 1743 жылы Швеция Корольдік Ғылым академиясының еңбектерінде шведтік орган жасау шебері Даниэль Страле (1700–1746) жариялаған. Академия хатшысы Якоб Фаггот мақалаға дұрыс есептелмеген дыбыс биіктіктерінің жиынтығын қосты, ал бұл деректер 1776 жылы Фридрих Вильгельм Марпургтың «Музыкалық темперамент туралы тәжірибе» еңбегінде қайта жарияланды. 1800 жылдар шамасында жарық көрген бірнеше неміс оқулықтарында бұл қате алғаш рет 1779 жылы Кристолиб Бенедикт Фанк анықтағаны айтылған, бірақ құрылымның өзі жиырмасыншы ғасырдың ортасына дейін көп назар алмаған. Сол кезде, құрал жасау теориясының маманы Дж. Мюррей Барбур оны тең темперамент пен кіші түбірлердің ұқсас экспоненциалдық шамаларын жақындатудың тиімді әдісі ретінде ұсынды және оның негізгі математикалық принциптерін жалпылады. Математиктер Иан Стюарт пен Исаак Джейкоб Шенбергтің мақалалары арқылы бұл құрылым таспалы музыкалық аспаптар жасау құралы ретінде танымал болды және олар оны білімі жоқ шебер жасаған бірегей және керемет әдемі шешім деп бағалады. Ағылшын тіліндегі жаңа еңбектерде қолданылатын «Strähle» атауы Марпург мәтініндегі транскрипция қатесінен туындаған, онда ескі үлгідегі көтерілген «e» әрпі көтерілген сақинаның орнына қолданылған.
Strähle's construction is a geometric method for determining the lengths for a series of vibrating strings with uniform diameters and tensions to sound pitches in a specific rational tempered musical tuning. It was first published in the 1743 Proceedings of the Royal Swedish Academy of Sciences by Swedish master organ maker Daniel Stråhle (1700–1746). The Academy's secretary Jacob Faggot appended a miscalculated set of pitches to the article, and these figures were reproduced by Friedrich Wilhelm Marpurg in Versuch über die musikalische Temperatur in 1776. Several German textbooks published about 1800 reported that the mistake was first identified by Christlieb Benedikt Funk in 1779, but the construction itself appears to have received little notice until the middle of the twentieth century when tuning theorist J. Murray Barbour presented it as a good method for approximating equal temperament and similar exponentials of small roots, and generalized its underlying mathematical principles. It has become known as a device for building fretted musical instruments through articles by mathematicians Ian Stewart and Isaac Jacob Schoenberg, and is praised by them as a unique and remarkably elegant solution developed by an unschooled craftsman. The name "Strähle" used in recent English language works appears to be due to a transcription error in Marpurg's text, where the old fashioned diacritic raised "e" was substituted for the raised ring.
Өмірбаян
Даниэль П. Страхле XVIII ғасырдың екінші ширегінде Орталық Швецияда орган жасаушы ретінде белсенді болды. Ол Стокгольмдегі маңызды орган жасаушы Йохан Николас Кахманның шәкірті болып жұмыс істеді және 1741 жылы, Кахманның қайтысынан кейін төрт жыл өткен соң, Страхлеге орган жасауға рұхсат берілді. Швецияда сол кездегі қағида бойынша, музыка аспаптарының әр түрі бойынша ең танымал бірнеше шеберлер ғана ие болатын рұхсат, монополия оған орган жасау мен жөндеуге, сондай-ақ жұмысшыларды оқыту мен тексеруге заңдық құқық берді, сонымен қатар бұл шебердің жұмысы мен білімінің сапасының кепілі болды. 1743 жылғы оның органы Стромсхольм сарайының капелласында түпнұсқа күйінде сақталған; ол клавикордтар жасағаны да белгілі, ал 1738 жылғы ерекше конструкциясы мен аспап шкаласы, оған қол қойылған, Стокгольм музыка мұражайында сақталады. Оның шәкірттеріне оның жүрегі туыс Петтер Страхле және Джонас Грен кірді, олар әйгілі Стокгольм орган жасаушылары Грен мен Страхле серіктестері болды. Ал Абрахам Абрахамссон Хюльферс өзінің 1773 жылы жарық көрген «Historisk Afhandling om Musik och Instrumenter» кітабында Страхленің механиканы (оның ішінде математиканы да) Швеция Ғылым академиясының негіс қалаушысы Кристофер Полхемнен үйренгенін жазды. Ол 1746 жылы солтүстік Упландтағы Лёвстабрукте қайтыс болды. Страхле өз құрылысын «клавикорд пен оған ұқсас аспаптардың тонын реттеуде темпераментті анықтау үшін жаңа өнертабыс» деп жариялады. Бұл мақала жаңадан құрылған Швеция Корольдік Ғылым академиясының төртінші томында жарияланды. Органолог Ева Хелениус музыкалық тондарды реттеу мәселесі 1740 жылдары Академияда қызу талқыланғанын айтты. Страхле өзі академия мүшесі болмаса да, ол Академия жариялаған практикалық музыкалық тақырыптарға арналған үшінші мақала болды – алғашқы екеуі әуесқой аспап жасаушы, пастор және Академия мүшесі Нильс Брелинге тиесілі, олар клавесин мен клавикордқа қатысты өнертабыстарды сипаттады. Страхле мақаласында бұл әдісті «кейбір ойлар мен көптеген тәжірибелер» арқылы жасағанын, оның мақсаты темпераменттегі ішектердің ұзындығын анықтау үшін өлшем құралы жасау болғанын, ол оны құлаққа ең жұмсақ («sväfningar») ететін, сонымен қатар ең пайдалы және теңдестірілген тондарды құрайтынын жазды. Оның нұсқаулары сол кезеңде жарияланған белгілі тондарға ұқсас темперлі интервалдардың диапазонымен тұрақсыз тонды тудырады, бірақ ол тондардың өзі туралы қосымша түсіндірме немесе сипаттама бермеді; бүгінде бұл тең темпераментке жуық деп есептеледі. Ол өз құрылысының артықшылықтарын да толыққанды түсіндірмеді, ол есептеулер мен өлшеулерді қажет етпей, тек түзу сызық пен циркуль арқылы дәл және қайталанатын нәтижелерді бере алады; ол құрылысты бес қадамда ғана сипаттады, және ол Дом Бедо де Сель әдісімен сипатталған арифметикалық әдістерге қарағанда аз қайталанады. Страхле бұл жүйені клавикордқа қолданғанын айтты, бірақ ішектердің дыбыстық ұзындығын анықтау әдісі басқа да көптеген музыкалық аспаптарда қолданылуы мүмкін, бірақ мақалада сипатталған екі мысалдан басқа оның кеңінен қолданылғандығын көрсететін дәлелдер аз, және олардың қазіргі орны белгісіз.
Daniel P. Stråhle was active as an organ builder in central Sweden in the second quarter of the eighteenth century. He had worked as a journeyman for the important Stockholm organ builder Johan Niclas Cahman and, in 1741, four years after Cahman's death, Stråhle was granted his privilege for organ making. According to the system in force in Sweden at the time a privilege, a granted monopoly which was held by only a few of the most established makers of each type of musical instruments, gave him the legal right to build and repair organs, as well as to train and examine workers, and it also served as a guarantee of the quality of the work and education of the maker. An organ by him from 1743 is preserved in its original condition at the chapel at Strömsholm Palace; he is also known to have made clavichords, and a notable example with an unusual string scale and construction signed by him and dated 1738 is owned by the Stockholm Music Museum. His apprentices included his nephew Petter Stråhle and Jonas Gren, partners in the famous Stockholm organ builders Gren & Stråhle, and according to Abraham Abrahamsson Hülphers in his book Historisk Afhandling om Musik och Instrumenter published in 1773, Stråhle himself had studied mechanics (which has been assumed to have included mathematics) with Swedish Academy of Science founding member Christopher Polhem. He died in 1746 at Lövstabruk in northern Uppland. Stråhle published his construction as a "new invention, to determine the Temperament in tuning, for the pitches of the clavichord and similar instruments" in an article that appeared in the fourth volume of the proceedings of the newly formed Royal Swedish Academy of Sciences, which included articles by prominent scholars and Academy members Polhem, Carl Linnaeus, Carl Fredrik Mennander, Augustin Ehrensvärd, and Samuel Klingenstierna. According to organologist Eva Helenius musical tuning was a subject of intense debate in the Academy during the 1740s, and though Stråhle himself was not a member his was the third article on practical musical topics published by the Academy—the first two were by amateur musical instrument maker, minister, and Academy member Nils Brelin which related inventions applicable to harpsichords and clavichords. Stråhle wrote in his article that he had developed the method with "some thought and a great number of attempts" for the purpose of creating a gauge for the lengths of the strings in the temperament which he described as that which made the tempering ("sväfningar") mildest for the ear, as well comprising as the most useful and even arrangement of the pitches. His instructions produce an irregular tuning with a range of tempered intervals similar to better known tunings published during the same period, but he provided no further comments or description about the tuning itself; today it is generally considered to be an approximation of equal temperament. He also did not elaborate upon any advantages of his construction, which can produce accurate and repeatable results without calculations or measurement with only a straightedge and dividers; he described the construction in only five steps, and it is less iterative than arithmetic methods described by Dom Bédos de Celles method for determining organ pipe lengths in just intonation or Vincenzo Galilei for determining string fret positions in approximate equal temperament, and geometrical methods such as those described by Gioseffo Zarlino and Marin Mersenne—all of which are much better known than Stråhle's. Stråhle concluded by stating that he had applied the system to a clavichord, although the tuning as well as the method of determining a set of sounding lengths can be used for many other musical instruments, but there is little evidence showing whether it was put into more widespread practice other than the two examples described in the article, and whose whereabouts today are unknown.
Құрылыс
Стрехле алдымен I-ден XIII-ге дейін белгіленген нүктелермен он екі тең бөлікке бөлінген қолайлы ұзындықтағы QR сызық сегментін салуды тапсырды. QR содан кейін OQ және OR екі есе QR-ден ұзын және O нүктесінен базадағы нөмірленген нүктелердің әрқайсысы арқылы тартылған сәулелері бар теңқабыршалы үшбұрыш негізі ретінде қолданылады. Соңында R нүктесінен үшбұрыштың қарсы жағында P нүктесі арқылы өткен бұрышта сызық тартылады. Сызық R-ден P-ге дейінгі екі есе қашықтықта орналасқан M нүктесіне дейін жеті бірлік арақашықтықта орналасқан. Штрахель өзінің сызығына PR "Linea Musica" деп атағанын жазды, ол Хелениус Полхемнің қазіргі Linköping Stifts och Landsbibliotek-те орналасқан, бірақ ертерек қолжазбада қолданған термині екенін атап өтті. Бұл композитор мен геометр Харальд Валлериус (1646-1716) және Штрахельдің бұрынғы жұмыс берушісі Дж. Н. Кахманмен бірге келгенін Хелениус көрсетті. Ол музыкант болмаған сияқты, бірақ Хелениус математикалық тұрғыдан музыкалық тақырыптарға қызығушылық танытқандығын және академия арқылы музыкалық аспап жасаушылармен мерзімді түрде байланысқа түскенін жазған. Хелениус сонымен қатар Фэгготтың Швецияда музыкалық аспаптарды жасауға белсенді, тіпті жанама және өлімнен кейінгі әсері бар деген теорияны ұсынды. Ол Йохан Броман 1756 жылы жасаған екі эксперименталды аспапта пайдаланылған ұзақ тенорлы сымдарды ұсынған болуы мүмкін деп мәлімдеді, бұл Швецияда XVIII ғасырдың аяғы мен XIX ғасырдың басында салынған клавикорд түріне әсер етті. +Faggot және Stråhle-дің сымдарының ұзындығы және олардың салыстырмалы биіктігі Faggot N. 3 Stråhle нота ұзындығы cents ұзындығы cents қатынасы C 10000 0 10000 0 1/1 c♯ 9379 111 9432 101 211/199 d 8811 219 8899 202 109/97 d♯ 8290 325 8400 302 25/21 e 7809 428 7930 401 29/23 f 7365 529 7490 500 239/179 f♯ 6953 629 7073 600 41/29 g 6570 727 6676 699 253/169 g♯ 6213 824 6308 798 65/41 a 5881 919 5955 897 89/53 a♯ 5568 1014 5621 997 137/77 b 5274 1108 5303 1098 281/149 c 5000 1200 5000 1200 2/1
Stråhle instructed first to draw a line segment QR of a convenient length divided in twelve equal parts, with points labeled I through XIII. QR is then used as the base of an isosceles triangle with sides OQ and OR twice as long as QR, and rays drawn from vertex O through each of the numbered points on the base. Finally a line is drawn from vertex R at an angle through a point P on the opposite leg of the triangle seven units from Q to a point M, located at twice the distance from R as P. The length of MR gives the length of the lowest sounding pitch, and the length of MP the highest of the string lengths generated by the construction, and the sounding lengths between them are determined by the distances from M to the intersections of MR with lines O I through O XII, at points labeled 1 through 12. Stråhle wrote that he had named the line PR "Linea Musica", which Helenius noted was a term Polhem had used in an undated but earlier manuscript now located at the Linköping Stifts och Landsbibliotek and which is accompanied by notes from composer and geometer Harald Vallerius (1646–1716) and Stråhle's former employer J. N. Cahman. He apparently was not a musician, though Helenius described he was interested in musical topics from a mathematical perspective and documented that he periodically came in contact with musical instrument makers through the Academy. Helenius also presented a theory that Faggot had a more active, if indirect and posthumous influence on the construction of musical instruments in Sweden, claiming that he may have suggested the long tenor strings used in two experimental instruments built by Johan Broman in 1756 which she proposed influenced the type of clavichord built in Sweden in the late eighteenth and early nineteenth centuries. +Faggot's and Stråhle's string lengths and their relative pitches note Faggot N. 3 Stråhle note length cents length cents ratio C 10000 0 10000 0 1/1 c ♯ 9379 111 9432 101 211/199 d 8811 219 8899 202 109/97 d ♯ 8290 325 8400 302 25/21 e 7809 428 7930 401 29/23 f 7365 529 7490 500 239/179 f ♯ 6953 629 7073 600 41/29 g 6570 727 6676 699 253/169 g ♯ 6213 824 6308 798 65/41 a 5881 919 5955 897 89/53 a ♯ 5568 1014 5621 997 137/77 b 5274 1108 5303 1098 281/149 c 5000 1200 5000 1200 2/1
Өз мақаласында Фэггот Штрахельдің қолданған тригонометриялық қадамдарын, жаңа күйдің дыбыстық ұзындығын есептеу үшін, таза третья, кварта және квинталары бар күймен ("N. 1" деп белгіленген кестеде) және "ескі темперамент" деп атаған тең темпераментпен ("N. 2") салыстыру мақсатында сипаттады. Ол нәтижедегі сандар жиынтығының "бұрын сипатталған ойлап табуға сәйкес күйлердің күйін, музыкалық аспаптағы музыкалық биіктіктерде жағымды дыбыстармен және жақсы тепе-теңдікпен құлаққа ұнайтынын және осылайша көре білуге мүмкіндік беретінін көрсетуі керек, ал көз еститін нәрсені көреді". Екі мақала да 1751 жылы жарияланған Академияның еңбектерінің неміс тіліндегі басылымында қайта жарияланды, ал кейіннен Марпург 1776 жылы Versuch über die musikalische Temperatur-ға Фэгготтың есептелген сымдарының ұзындығы туралы кестесін қосты, ал ол жасаған күйде батыс өнер музыкасында әдеттегіден тыс интервалдар бар. Фанк бұл айырмашылықты 1791 жылы Гелердің Физикалық сөздігінде және 1804 жылы Фишердің Физикалық сөздігінде байқады, ал қателікті Эрнст Хладни 1830 жылы Die Akustik деп атап көрсетті. Швецияда осы уақыт аралығында осындай пікірлер жарияланбаған көрінеді. Бұл жұмыстар Фэгготтың қателігін логарифмикалық кестелердегі синустық бағананың орнына тангенс мәнін қолданғанынан туындаған деп хабарлайды. Қате RP бұрышын шамамен жеті градусқа артық етіп жасаудан тұрады, бұл QP-нің тиімді ұзындығын 8.605-ке дейін арттырды. Бұл оның жанында ұсынған күйлермен салыстырғанда темперамент қателерін қатты арттырды, дегенмен Фэгготтың бұл көзге көрінетін кемшіліктерді байқағаны белгісіз, өйткені ол мақалада Штрахельдің құрылымы немесе темпераменті туралы қосымша пікірлер жасамады.
In his analysis of Stråhle's article Faggot outlined the trigonometric steps he had used to calculate the sounding lengths of the individual pitches, for the purpose of comparing the new tuning produced by Stråhle's method, against a tuning with pure thirds, fourths and fifths (labeled "N. 1" in the table), and equal temperament, which he called only "an older temperament and [which] is introduced in Mr. Mattheson's Critica Musica" ("N. 2"), He intended the resulting set of figures to show whether "the tuning of the pitches, following the previously described invention, satisfies the ear with pleasant sounds and with better evenness, in the Musical pitches on a keyboard instrument, and therefore teaches understanding better can judge than the old and previously known manner of tuning, when the eye can see what the ear hears." Both articles were reproduced in a German edition of the Academy's proceedings published in 1751, and a table of Faggot's calculated string lengths was subsequently included by Marpurg on his 1776 Versuch über die musikalische Temperatur, and the tuning he created includes intervals tuned outside of the range conventionally used in Western art music. Funk is credited the observation of this discrepancy in Gehler's Physikalisches Wörterbuch in 1791, and Fischer's Physikalisches Wörterbuch in 1804, and the error was pointed out by Ernst Chladni in Die Akustik in 1830. No similar comments appear to have been published in Sweden during the same period. These works report Faggot's mistake as the result of having used a value from the tangent instead of the sine column from the logarithmic tables. The error itself consisted of making the angle of RP about seven degrees too great, which caused the effective length of QP to increase to 8.605. This greatly exaggerated the errors of the temperament compared to the tunings he presented alongside it, although it is not clear whether Faggot observed these apparent defects as he made no further comments about Stråhle's construction or temperament in the article.
Түзету
Stråhle нұсқауларына сәйкес жасалған күйлеу – рационалды темперамент, онда бесіншілердің диапазоны 696-ден 704 центке дейін, яғни таза бесіншіден шамамен бір центтен азырақ, ал жай 3:2 қатынасынан екі центке дейін жоғары. Үлкен үштіктердің диапазоны 396 центтен 404 центке дейін, немесе жай 5/4 қатынасынан он центке дейін жоғары, ал пифагорлық 81/64 қатынасынан үш центке дейін төмен. Бұл интервалдар қабылданатын деңгейде саналады, бірақ бүгінгі танымал он жетінші және он сегізінші ғасырларда жарияланған күйлерге тән, жиі қолданылатын тональностьтарға жақсы үштіктердің таралуы жоқ, олар жақсы темпераменттер деп белгілі. Ең жақсы бесінші F♯ тональностьында немесе MB көрсеткен биіктікте, онда үшінші 398 центке тең, ал ең жақсы үшінші E тональностьында, онда бесінші 697 центке тең. Екі интервалдың ең жақсы комбинациясы F тональностьында, ал ең нашар комбинациясы B♭ тональностьында.
The tuning produced following Stråhle's instructions is a rational temperament with a range of fifths from 696 to 704 cents, which is from about one cent flatter than a meantone fifth to two cents sharp of just 3:2; the range of major thirds is from 396 cents to 404 cents, or ten cents sharp of just 5/4 to three cents flat of Pythagorean 81/64. These intervals fall within what is considered to have been acceptable but there is no distribution of better thirds to more frequently used keys that characterize what are today the most popular of the tunings published in the seventeenth and eighteenth centuries, which are known as well temperaments. The best fifth is pure in the key of F♯—or the pitch given by MB—which has a 398 cent third, and the best third is in the key E, which has a 697 cent fifth; the best combination of the two intervals is in the key of F and the worst combination is in the key of B♭.
Барбурдың әдістерін Шенберг жетілдіреді
Бұл мақала төрешісі Исаак Якоб Шенберг қосымша екі ескертумен бірге жарияланды. Ол Барбурдың формуласы бөлшектік сызықтық түрлендіру екенін, сондықтан перспективалық қатынасты талап ететінін, ал екі түзудегі сәйкес үш жұп нүкте проективті сәйкестікті бірегей анықтайтынын, демек Барбурдың OA-ның QR-ға перпендикуляр болуы шартының маңызсыз екенін атап өтті. Бұл қадамды жою QR ұзындығын ыңғайлырақ таңдауға және операциялар санын азайтуға мүмкіндік береді. Шенберг сондай-ақ Барбурдың теңдеуін үш нүкте (m=0, m=1/2 және m=1) арқылы экспоненциалдық қисықтың интерполяциясы ретінде қарастыруға болатынын көрсетті, бұл туралы ол 1976 жылы «American Mathematical Monthly» журналында жарияланған «Гитарадағы тақташалардың орналасуы туралы» атты қысқа мақаласында толығырақ жазды. Бұл мақала Stråhle-дің жарты октава үшін таңбаны кездейсоқ пайдалануы туралы қысқаша талқылаумен аяқталды, бұл санның үздіксіз бөлшек кеңеюінің бірден-бір жуықтамасы және оның бөлімінің мөлшері үшін ең жақсы рационалды жуықтама болып табылады.
The paper was published with two notes added by its referee, Isaac Jacob Schoenberg. He observed that the formula derived by Barbour was a fractional linear transformation and so called for a perspectivity, and that since three pairs of corresponding points on the two lines uniquely determined a projective correspondence Barbour's condition that OA be perpendicular to QR was irrelevant. The omission of this step allows a more convenient selection of length for QR, and reduces the number of operations. Schoenberg also noted that Barbour's equation could be viewed as an interpolation of the exponential curve through the three points m=0, m=1/2, and m=1, which he expanded upon in a short paper titled "On the Location of the Frets on the Guitar" published in American Mathematical Monthly in 1976. This article concluded with a brief discussion of Stråhle's fortuitous use of for the half octave, which is one of the convergents of the continued fraction expansion of the , and the best rational approximation of it for the size of the denominator.
Стюарт және жалғасқан бөлшектер
Иан Стюарт Страле құрылымындағы бөлшектік жуықтамаларды кеңейтті, ол құрылым туралы 1992 жылы жарық көрген "Another Fine Math You've Got Me Into" кітабындағы "Жақсы темперленген калькулятор" және 2006 жылы жарияланған "Музыка және математика" жинағындағы "Faggot's Fretful Fiasco" мақалаларында жазды. Стюарт құрылымды проективті геометрия тұрғысынан қарастырып, оны бастапқыда бөлшектік сызықтық функция ретінде қарастырып, Барбур сияқты бірдей формулаларды туындатты. Ол құрылымдағы жасырылған жуықтаманы , яғни ол тудыратын жарты октавадан келесі төменгі жақындау ретінде атап көрсетті. Бұл функцияның m=0,5 үшін қарапайымдануының салдары, мұнда жаратушы жуықтама болып табылады.
The use of fractional approximations of in Stråhle's construction was expanded upon by Ian Stewart, who wrote about the construction in "A Well Tempered Calculator" in his 1992 book Another Fine Math You've Got Me Into as well as "Faggot's Fretful Fiasco" included in Music and Mathematics published in 2006. Stewart considered the construction from the standpoint of projective geometry, and derived the same formulas as Barbour by treating it from the start as a fractional linear function, of the form , and he pointed out that the approximation for implicit in the construction is , which is the next lower convergent from the half octave it produces. This is the consequence of the function simplifying to for m=0.5 where is the generating approximation.
Музыкалық аспаптарға қолданылатын ұқсас әдістер
Барбур құрастырған монохордтарды бөлудің геометриялық және арифметикалық әдістері, сондай-ақ музыкалық аспаптардың тақташалары, олардың әрқайсысы көрсететін немесе білдіретін әртүрлі қосымшаларды көрсету мақсатында жасалған. Шенберг пен Стюарттың еңбектері де осыған ұқсас бағытты және сілтемелерді сақтаған. Жаңа аспаптарды жобалау үшін Стрэхлеге ұқсас құрылымдарды көрсететін пианино жасау туралы үш оқулық, олардың дыбыстарының қосымшасын тәуелсіз қарастырады. Екі құрылым да Шенбергтің Барбурдың «Сандардың түбірлеріне геометриялық жуықтау» еңбегінде айтқан пікіріне сәйкес, перпендикуляр емес форманы қолданады, ал біреуі ең жақсы нәтижелерге жетеді, ал екіншісі 2-ден өзге түбірді қолдануды көрсетеді.
The geometric and arithmetic methods for dividing monochords as well as musical instrument fretboards compiled by Barbour were for the stated purpose of illustrating the different tunings each represents or implies, and Schoenberg's and Stewart's works retained similar focus and references. Three textbooks on piano building that are not included by them show similar constructions to Stråhle's for designing new instruments but treat the tuning of their pitches independently; both constructions employ a non perpendicular form as suggested by Schoenberg's observation in Barbour's "A Geometrical approximation to the Roots of Numbers", and one achieves optimal results while the other demonstrates an application with a root other than 2.
Кюцинг
Карл Кюцинг, 19-ғасырдың ортасында Бернде орган және фортепиано жасаушы, фортепиано дизайны туралы өзінің алғашқы кітабында – 1833 жылғы «Теориялық-практикалық фортепиано құрылысы туралы нұсқаулықта» жазды, Марпургтің «Historisch kritischen Beitragen zur Aufnahme der Musik» журналының бір санында сипатталған әртүрлі геометриялық құрылымдарды оқығаннан кейін, ол октавадағы дыбыс ұзындығын анықтаудың қарапайым әдісін ойлап тапқан; ол бұл бөліністердің өте дәл болатынын және осы құрылымды гитаралардың табақтарын жасау үшін де қолдануға болатынын айтты. Кюцинг осы мақсатта жасалатын үлкен секторды сипаттағаннан кейін бұл құрылымды енгізді. Ол бұл екі әдісті де кейіннен, он бір жыл өткен соң жарық көрген «Das Wissenschaftliche der Fortepiano Baukunst» кітабына қоспады, онда ол октава ұзындықтары арасындағы шамамен 18:35 қатынасын пайдаланып ұзындықтарды есептеді және сымның нақты диаметріне бейімделген үздіріспес қисықпен жаңа әдіс ұсынды, бұл кернеудегі секірістерден туындаған дыбыстық айырмашылықтарды азайтуға бағытталған. Кюцингке белгілі дыбыс ұзындығын көрсететін bc сызық сегментін 45 градус бұрышпен ba сызығына дейін созуды, содан кейін b және c арасында орналасқан d нүктесіндегі октавасынан ba сызығына перпендикуляр сызықты созуды, ол e нүктесінде қиылысады, және де de-ні 12 тең бөлікке бөлуді тапсырды. ab сызығындағы a нүктесі de және db ұзындықтарын e нүктесінен b нүктесіне ауыстыру арқылы, ал de-ні бөлетін және bc сызығын қиылыстыратын нүктелер арқылы a нүктесінен жүргізілген сәулелердің көмегімен c нүктесінен жіп ұзындығының әртүрлі соңғы нүктелерін табуға болады. Бұл құрылым a нүктесін табу үшін орташа пропорционалды пайдаланумен тең. 1862 жылы Лондонда өткен Халықаралық көрмеде Джон Броуд энд Санс компаниясы көрсеткен буклетке қосымша нұсқаулармен бірге қайта белгіленген схема кірді, онда олар оны «тең темпераментте октаваның әр нотасы үшін Сызықтардың ұзындығын табудың практикалық әдісі деп сипаттады; сондықтан бірдей өлшемдегі сыммен әр нотадағы кернеу бірдей болады». Бұл схеманы сонымен қатар 1868 жылы жарық көрген «Пианофорте» кітабында Неапольде жұмыс істейтін орыс туған фортепиано жасаушы Джакомо Сиверс қайта жариялады, ол осы әдісті фортепианодағы сымдардың дыбыс ұзындығын анықтаудың ең жақсы практикалық әдісі деп мәлімдеді. Бродвуд сияқты, Сиверс оның бастауын немесе қолданылу ауқымын сипаттамады және оның артындағы теорияны түсіндірмеді. Ол сонымен қатар оның пианино жасаудан басқа мақсаты жоқ екенін айтты.
Carl Kützing, an organ and piano maker in Bern during the middle of the 19th century wrote in his first book on piano design, Theoretisch praktisches Handbuch der Fortepiano Baukunst from 1833, that he devised a simple method of determining the sounding lengths in an octave after reading of the different geometric constructions described in an issue of Marpurg's Historisch kritischen Beitragen zur Aufnahme der Musik; he stated that the divisions would be very accurate and that the construction could be used for fretting guitars. Kützing introduced the construction following a description of a large sector to be made for the same purpose. He did not include either method in Das Wissenschaftliche der Fortepiano Baukunst published eleven years later, where he calculated lengths using approximately 18:35 ratios between octave lengths and proposed a new method with a non continuous curve adjusted for actual wire diameters in order to reduce tonal differences from jumps in tension. Kützing instructed to extend a line segment bc—representing a known sounding length—at 45 degrees to the line ba, and from its octave at point d located midway between b and c, to extend a line perpendicular to ba intersecting it at e, then to divide de into 12 equal parts. The point a on ab is located by transferring the lengths of de, db, from e away from b, and rays extended from a through the points dividing de and intersecting bc to locate the different endpoints of the string lengths from c.
This arrangement is equivalent to using the mean proportional to locate a. A re labeled diagram with instructions was included in a pamphlet printed by England's largest piano manufacturers John Broadwood & Sons to accompany their display at the 1862 International Exhibition in London, where they described it as "a practical method of finding the lengths of Strings, for every note of the Octave on equal temperament; so that with wire of the same size the tension on each note shall be the same." It was also reproduced, alongside a sector, by Giacomo Sievers, a Russian born piano maker working in Naples, in his 1868 book Il Pianoforte, where he claimed it was the best practical method for determining sounding lengths of strings in a piano. Like Broadwood, Sievers did not describe its source or extent of its use, and did not explain any theory behind it. He also did not suggest it had any use beyond designing pianos.
Вольфенден
Ағылшын пианино жасаушысы Сэмюэл Вольфенден 1916 жылы жарияланған «A Treatise on the Art of Pianoforte Construction» атты еңбегінде пианинодағы ең төменгі дыбысталатын қара жіптердің ұзындығын анықтау құрылысын ұсынды; Сиверс сияқты, ол бұл әдіс түпнұсқалық па, әлде кең таралған ба екенін түсіндірмеді, тек «жіп ұзындығын анықтаудың өте практикалық әдісі және бұрынғы жылдары мен оны толығымен қолдандым» деп баялады. Ол жазған кезде ұзындықтарды тікелей есептеу «біршама оңай» болғанын және сипаттамадан бұрын пианиноның жоғарғы бес октавасы үшін есептелген ұзындықтар тізімі берілгенін қосты. Ол тең темпераменттегі жиіліктерді қосты, бірақ 1927 жылғы қосымшасында ғана құлақ бойынша үйлестіру нұсқауларын жариялады. Вольфенден қара жіптердің кернеуін теңестіруді, жоғары диапазонды октава ұзындығы арасындағы 9:17 қатынасын жіп диаметрлерінің біркелкі өзгеруімен үйлестіру арқылы қолдаушы болды (бұл 1888 жылы Сигфрид Хансинг жариялаған ұқсас жүйеге қарағанда сәл тұрақты нәтижелерге қол жеткізеді), ал Сиверс шкаласының жіп кестесі қалың, төмен дыбыстық жиіліктерде жоғары кернеуге әкеледі. Сиверс сияқты, Вольфенден барлық дыбыс шығаратын ұзындықтарды сәулелердің негізгі сызықтарынан 45 градус бұрышпен бір сегментте құрастырды, әрбір C нотасы үшін жоғарғы нүктеден 54, 102, 192,5, 364 және 688 мм қашықтықта орналасқан нүктелерден бастады. Сәулелердің төрт төбесі әр октавадағы төменгі C нотасынан созылған көлденең негізгі сызықтардың қиылысуымен және жоғарғы бастапқы нүктеден бұрышпен жүргізілген екінші сызықпен анықталады, бірақ ол екеуінің де негізгі сызықтарға 51,5 градус бұрышпен орналасуын және негізгі сызықтардың екі октава ұзындығының айырмасына 35:13 қатынаста болуын көрсетті. Вольфенден әдісі шамамен 1,3775-ке жуықтап, Барбурдың формуласында эквивалентті. Оның кіші октаваларын ескергенде, бұл 596 центтік жарты октаваға тең, бұл оның есептелген мәндерімен салыстырғанда F4 (f') нотасында шамамен 1 мм қателік береді.
English piano maker Samuel Wolfenden presented a construction for determining all but the lowest sounding plain string lengths in a piano in A Treatise on the Art of Pianoforte Construction published in 1916; like Sievers, he did not explain whether this was an original procedure or one in common use, commenting only that it was "a very practical method of determining string lengths, and in past years I used it altogether". He added that at the time of writing he found calculating the lengths directly "somewhat easier" and had preceded the description with a table of computed lengths for the top five octaves of a piano. He included frequencies in equal temperament, but only published aural tuning instructions in his 1927 supplement. Wolfenden explicitly advocated equalizing the tension of the plain strings which he proposed to accomplish in the upper range by combining a 9:17 ratio between octave lengths with a uniform change in string diameters (achieving slightly more consistent results over the otherwise similar system published by Siegfried Hansing in 1888), in contrast to Sievers scale whose stringing schedule results in higher tension for the thicker, lower sounding pitches. Like Sievers, Wolfenden constructed all of the sounding lengths on a single segment at 45 degrees from the base lines for the rays, starting with points located for each C in the range designed at 54, 102, 192.5, 364, and 688mm from the upper point. The four vertices for the rays are then located by the intersections of the horizontal base lines extended from the lower C in each octave with a second line angled from the upper starting point for the string line, however, which he specified should both be at 51.5 degrees to the base lines and that the base lines have a 35:13 ratio with the difference between the two octave lengths. Wolfenden's method approximates with roughly 1.3775, and is equivalent to in Barbour's form. Compensating for its smaller octaves this produces 596 cent half octaves, an error of about 1mm at note F4 (f′) compared with his calculated figures.