Введение

Предполагается существование определённого типа простых чисел, но ни один пример пока не найден. В теории чисел простое число Уолла — Сунь — Сунь, или простое число Фибоначчи — Вифериха, — это определённый тип простых чисел, существование которых предполагается, хотя ни одно из них пока не известно.

Определение

Пусть p – простое число. Когда каждый член последовательности чисел Фибоначчи берется по модулю p, получается периодическая последовательность. (Минимальная) длина периода этой последовательности называется периодом Пизано и обозначается π(p).
Поскольку F(p) ≡ 0 (mod p), следует, что p делит F(p). Простое число p, такое что p² делит F(p+1), называется простым числом Уолл-Сан-Сан.

История

Простые числа Уолла — Суна — Суна названы в честь Дональда Дайнеса Уолла, Чжи Хон Суна и Чжи Вэй Суна; Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сун показали в 1992 году, что если первый случай последней теоремы Ферма был неверен для некоторого простого числа p, то p должно было быть простым числом Уолла — Суна — Суна. В результате, до доказательства Эндрю Уайлсом последней теоремы Ферма, поиск простых чисел Уолла — Суна — Суна также являлся поиском потенциального контрпримера к этой многовековой гипотезе.

Обобщения

Трибоначчи–Виферихово простое число – это простое число p, удовлетворяющее условию , где h – наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее [Th, Th+1, Th+2] ≡ [T0, T1, T2] (mod m), а Tn обозначает n-е число Трибоначчи. Ни одного трибоначчи–Виферихова простого числа не существует ниже 1011. Пелл–Виферихово простое число – это простое число p, удовлетворяющее условию: p² делит Pp−1, если p сравнимо с 1 или 7 (mod 8), или p² делит Pp+1, если p сравнимо с 3 или 5 (mod 8), где Pn обозначает n-е число Пелла. Например, 13, 31 и 1546463 – это пелл–вифериховы простые числа, и других ниже 109 нет. Фактически, пелл–вифериховы простые числа являются 2-мя простыми числами Уолла–Сана–Сана.

Близкостенные простые числа

Простое число p, для которого выполняется условие с малым |A|, называется простым числом, близким к Wall–Sun–Sun. Известно дюжина случаев, когда A = ±1.