Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Оптическая иллюзия
Optical illusion
Головоломка с недостающим квадратом — это оптическая иллюзия, используемая на уроках математики, чтобы помочь учащимся рассуждать о геометрических фигурах; или, точнее, научить их не полагаться на визуальное восприятие фигур, а использовать только словесные описания и аксиомы геометрии. Она представляет собой две композиции, состоящие из одинаковых фигур, расположенных немного по-разному. Каждая из них выглядит как прямоугольный треугольник со сторонами 13×5, но в одной из них вырезана область размером 1×1.
The missing square puzzle is an optical illusion used in mathematics classes to help students reason about geometrical figures; or rather to teach them not to reason using figures, but to use only textual descriptions and the axioms of geometry. It depicts two arrangements made of similar shapes in slightly different configurations. Each apparently forms a 13×5 right angled triangle, but one has a 1×1 hole in it.
Решение
Ключом к решению этой загадки является тот факт, что ни один из "треугольников" 13х5 не является настоящим треугольником, и ни один из них не был бы 13х5, даже если бы это было так, потому что кажущаяся гипотенуза изогнута. Иными словами, "гипотенуза" не имеет постоянного наклона, хотя это может показаться человеческому глазу. Настоящий треугольник 13х5 нельзя построить из данных элементов. Четыре фигуры (желтая, красная, синяя и зеленая) в сумме занимают 32 единицы площади. Кажущиеся треугольники, образованные из фигур, имеют ширину 13 единиц и высоту 5 единиц, поэтому кажется, что площадь должна быть S = = 32,5 единиц. Однако синий треугольник имеет соотношение сторон 5:2 (=2.5), а красный треугольник – 8:3 (≈2.667), поэтому кажущаяся объединенная гипотенуза на каждой фигуре на самом деле изогнута. Из-за этой кривизны гипотенузы, первая фигура фактически занимает 32 единицы площади, а вторая – 33, включая "недостающий" квадрат. Величина изгиба составляет приблизительно единицу (1,245364267°), что трудно заметить на диаграмме головоломки, и было показано графически. Обратите внимание на точку сетки, где красный и синий треугольники встречаются на нижнем изображении (5 клеток вправо и две единицы вверх от нижнего левого угла объединенной фигуры), и сравните ее с той же точкой на другом изображении; край немного не доходит до отметки на верхнем изображении, но проходит через нее на нижнем. Наложение "гипотенуз" с обеих фигур образует очень тонкий параллелограмм (обозначенный четырьмя красными точками) с площадью ровно в один квадрат сетки (теорема Пика дает 0 + − 1 = 1), что и является "недостающей" площадью.
The key to the puzzle is the fact that neither of the 13×5 "triangles" is truly a triangle, nor would either truly be 13x5 if it were, because what appears to be the hypotenuse is bent. In other words, the "hypotenuse" does not maintain a consistent slope, even though it may appear that way to the human eye. A true 13×5 triangle cannot be created from the given component parts. The four figures (the yellow, red, blue and green shapes) total 32 units of area. The apparent triangles formed from the figures are 13 units wide and 5 units tall, so it appears that the area should be S = = 32.5 units. However, the blue triangle has a ratio of 5:2 (=2.5), while the red triangle has the ratio 8:3 (≈2.667), so the apparent combined hypotenuse in each figure is actually bent. With the bent hypotenuse, the first figure actually occupies a combined 32 units, while the second figure occupies 33, including the "missing" square. The amount of bending is approximately unit (1.245364267°), which is difficult to see on the diagram of the puzzle, and was illustrated as a graphic. Note the grid point where the red and blue triangles in the lower image meet (5 squares to the right and two units up from the lower left corner of the combined figure), and compare it to the same point on the other figure; the edge is slightly under the mark in the upper image, but goes through it in the lower. Overlaying the "hypotenuses" from both figures results in a very thin parallelogram (represented with the four red dots) with an area of exactly one grid square (Pick's theorem gives 0  + − 1 = 1), so the "missing" area.
Принцип
По словам Мартина Гарднера, эта конкретная головоломка была изобретена нью-йоркским магом-любителем Полом Карри в 1953 году. Однако принцип парадокса диссекции был известен еще с начала XVI века. Целочисленные размеры частей головоломки (2, 3, 5, 8, 13) являются последовательными числами Фибоначчи, что обеспечивает точную единичную площадь в тонком параллелограмме. Многие другие головоломки, основанные на геометрическом расчленении, используют несколько простых свойств последовательности Фибоначчи.
According to Martin Gardner, this particular puzzle was invented by a New York City amateur magician, Paul Curry, in 1953. However, the principle of a dissection paradox has been known since the start of the 16th century. The integer dimensions of the parts of the puzzle (2, 3, 5, 8, 13) are successive Fibonacci numbers, which leads to the exact unit area in the thin parallelogram. Many other geometric dissection puzzles are based on a few simple properties of the Fibonacci sequence.
Похожие головоломки
Парадокс шахматной доски Сэма Лойда демонстрирует две перестановки квадрата 8х8. В "большой" перестановке (прямоугольник 5×13 на изображении справа) суммарная площадь промежутков между фигурами больше площади их квадратных аналогов на одну единицу, что создает иллюзию, будто фигуры занимают больше места, чем в исходном квадрате. В "малой" перестановке (фигура под прямоугольником 5×13) каждый четырехугольник должен перекрывать треугольник на половину единицы площади, чтобы его верхний или нижний край совпал с линией сетки, что приводит к общей потере площади в одну единицу. "Парадокс" Мицунобу Мацуямы использует четыре конгруэнтных четырехугольника и маленький квадрат, образующие больший квадрат. При вращении четырехугольников вокруг их центров они заполняют пространство маленького квадрата, хотя общая площадь фигуры, кажется, не меняется. Очевидный парадокс объясняется тем, что сторона нового большого квадрата немного меньше, чем сторона исходного. Если θ – угол между двумя противоположными сторонами в каждом четырехугольнике, то отношение двух площадей выражается как sec2 θ. При θ = 5° это приблизительно равно 1,00765, что соответствует разнице около 0,8%. Исчезающая головоломка – это механическая оптическая иллюзия, демонстрирующая разное количество определённых объектов при перемещении частей головоломки.
Sam Loyd's chessboard paradox demonstrates two rearrangements of an 8×8 square. In the "larger" rearrangement (the 5×13 rectangle in the image to the right), the gaps between the figures have a combined unit square more area than their square gaps counterparts, creating an illusion that the figures there take up more space than those in the original square figure. In the "smaller" rearrangement (the shape below the 5×13 rectangle), each quadrilateral needs to overlap the triangle by an area of half a unit for its top/bottom edge to align with a grid line, resulting overall loss in one unit square area. Mitsunobu Matsuyama's "paradox" uses four congruent quadrilaterals and a small square, which form a larger square. When the quadrilaterals are rotated about their centers they fill the space of the small square, although the total area of the figure seems unchanged. The apparent paradox is explained by the fact that the side of the new large square is a little smaller than the original one. If θ is the angle between two opposing sides in each quadrilateral, then the ratio of the two areas is given by sec2 θ. For θ = 5°, this is approximately 1.00765, which corresponds to a difference of about 0.8%. A vanishing puzzle is a mechanical optical illusion showing different numbers of a certain object when parts of the puzzle are moved around.