Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Оптикалық иллюзия
Optical illusion
Жоғалған квадрат – математика сабақтарында студенттерге геометриялық фигуралар туралы логикалық ойлауға көмектесетін оптикалық иллюзия; немесе оларды фигураларды пайдаланбай, тек мәтіндік сипаттамалар мен геометрия аксиомаларын қолдануға баулу. Онда ұқсас пішіндерден құралған екі түрлі орналасқан құрылым бейнеленген. Әрқайсысы сырттай қарағанда 13×5 тікбұрышты үшбұрыш сияқты көрінеді, бірақ біреуінде 1×1 өлшемді ойық бар.
The missing square puzzle is an optical illusion used in mathematics classes to help students reason about geometrical figures; or rather to teach them not to reason using figures, but to use only textual descriptions and the axioms of geometry. It depicts two arrangements made of similar shapes in slightly different configurations. Each apparently forms a 13×5 right angled triangle, but one has a 1×1 hole in it.
Шешім
Бұл жұмбақтың кілті – 13x5 "үшбұрыштарының" ешқайсысы шын мәнінде үшбұрыш емес, тіпті егер олар сондай болғанда да 13x5 өлшемде болмас еді, себебі гипотенуза сияқты көрінетін сызық иілген. Басқаша айтқанда, "гипотенуза" адам көзіне солай сезім тудырса да, тұрақты еңіске ие емес. Берілген бөліктерден нақты 13x5 үшбұрыш құру мүмкін емес. Төрт фигура (сары, қызыл, көк және жасыл) жалпы ауданы 32 бірлікке тең. Фигуралардан құралған үшбұрыштардың ені 13 бірлік, ал биіктігі 5 бірлік болғандықтан, ауданы S = = 32,5 бірлік болуы керек. Дегенмен, көк үшбұрыштың қатынасы 5:2 (=2.5), ал қызыл үшбұрыштың қатынасы 8:3 (≈2.667), сондықтан әр фигурадағы айқын біріктірілген гипотенуза, шындығында, иілген. Иілген гипотенузаның нәтижесінде, бірінші фигура 32 бірлік аумақты алып жатыр, ал екінші фигура – 33 бірлікті, оның ішінде "жетіспейтін" квадрат та бар. Иілу шамасы шамамен бірлікке (1.245364267°) тең, бұл жұмбақтың схемасында көру қиын, және осыны көрнекі түрде көрсетуге тырысылды. Төменгі суреттегі қызыл және көк үшбұрыштардың қиылысқан жеріндегі тор нүктесіне назар аударыңыз (біріктірілген фигураның төменгі сол бұрышынан оңға қарай 5 квадрат және жоғары қарай 2 бірлік), оны екінші суреттегі сол нүктемен салыстырыңыз; жоғарғы суреттегі жиегі белгіден сәл төмен, ал төменгі суретте одан өтеді. Екі суреттің "гипотенузаларын" бір-біріне жапса, өте жұқа параллелограмм (төрт қызыл нүктемен көрсетілген) пайда болады, оның ауданы дәл бір тор шаршысына тең (Пик теоремасы 0 + − 1 = 1 нәтижесін береді), демек, осы "жетіспейтін" аудан осылай түзіледі.
The key to the puzzle is the fact that neither of the 13×5 "triangles" is truly a triangle, nor would either truly be 13x5 if it were, because what appears to be the hypotenuse is bent. In other words, the "hypotenuse" does not maintain a consistent slope, even though it may appear that way to the human eye. A true 13×5 triangle cannot be created from the given component parts. The four figures (the yellow, red, blue and green shapes) total 32 units of area. The apparent triangles formed from the figures are 13 units wide and 5 units tall, so it appears that the area should be S = = 32.5 units. However, the blue triangle has a ratio of 5:2 (=2.5), while the red triangle has the ratio 8:3 (≈2.667), so the apparent combined hypotenuse in each figure is actually bent. With the bent hypotenuse, the first figure actually occupies a combined 32 units, while the second figure occupies 33, including the "missing" square. The amount of bending is approximately unit (1.245364267°), which is difficult to see on the diagram of the puzzle, and was illustrated as a graphic. Note the grid point where the red and blue triangles in the lower image meet (5 squares to the right and two units up from the lower left corner of the combined figure), and compare it to the same point on the other figure; the edge is slightly under the mark in the upper image, but goes through it in the lower. Overlaying the "hypotenuses" from both figures results in a very thin parallelogram (represented with the four red dots) with an area of exactly one grid square (Pick's theorem gives 0  + − 1 = 1), so the "missing" area.
Принцип
Мартин Гарднердің сөзінше, бұл нақты жұмбақты 1953 жылы Нью-Йорк қаласының әуесқой фокусник Пол Карри ойлап тапқан. Алайда, диссекция парадоксының қағидасы 16 ғасырдың басынан бері белгілі. Жұмбақтың бөліктерінің бүтін санмен берілген өлшемдері (2, 3, 5, 8, 13) – Фибоначчи сандарының тізбегінен алынған кезекті сандар, бұл нәтижеде жұқа параллелограммда бірлікке тең аудан пайда болады. Көптеген басқа геометриялық диссекция жұмбақтары Фибоначчи тізбегінің бірнеше қарапайым қасиеттеріне негізделген.
According to Martin Gardner, this particular puzzle was invented by a New York City amateur magician, Paul Curry, in 1953. However, the principle of a dissection paradox has been known since the start of the 16th century. The integer dimensions of the parts of the puzzle (2, 3, 5, 8, 13) are successive Fibonacci numbers, which leads to the exact unit area in the thin parallelogram. Many other geometric dissection puzzles are based on a few simple properties of the Fibonacci sequence.
Ұқсас жұмбақтар
Сэм Лойдтың шахмат тақтасының парадоксы 8×8 квадраттың екі түрлі реттелуін көрсетеді. "Үлкен" реттелуде (оң жақтағы суреттегі 5×13 тіктөртбұрыш) фигуралар арасындағы бос орындар, олардың квадраттағы бос орындарға қарағанда, бірлік шаршыдан көп аумақты құрайды, бұл сол жердегі фигуралар бастапқы квадраттағылардан көбірек орын алады деген ой тудырады. "Кішірек" реттелуде (5×13 тіктөртбұрыштың астындағы пішін) әрбір төртбұрыш үшбұрыштың үстінен жарты бірлік аумақпен жабуы керек, осылайша оның жоғарғы/төменгі жиегі тор сызығымен дәл келеді, нәтижесінде бір бірлік шаршы аумағы жоғалады. Мицунобу Мацуяманың "парадоксы" төрт конгруэнтті төртбұрыштан және кішкентай шаршыдан тұрады, олар үлкен шаршыны құрайды. Төртбұрыштар өз орталарынан бұрылғанда кішкентай шаршының кеңістігін толтырады, бірақ фигураның жалпы ауданы өзгермейтіндей көрінеді. Бұл парадокс жаңа үлкен шаршының қабырғасы бастапқы шаршыдан сәл кішірек екендігімен түсіндіріледі. Егер θ әр төртбұрыштағы екі қарама-қарсы қабырға арасындағы бұрыш болса, онда екі ауданның арақатынасы sec2 θ арқылы беріледі. θ = 5° үшін бұл шамамен 1.00765-ке тең, бұл шамамен 0,8% айырмашылықты көрсетеді. Жоғалып кететін жұмбақ – бұл жұмбақтың бөліктері жылжытылғанда белгілі бір нысанның әртүрлі санын көрсететін механикалық оптикалық иллюзия.
Sam Loyd's chessboard paradox demonstrates two rearrangements of an 8×8 square. In the "larger" rearrangement (the 5×13 rectangle in the image to the right), the gaps between the figures have a combined unit square more area than their square gaps counterparts, creating an illusion that the figures there take up more space than those in the original square figure. In the "smaller" rearrangement (the shape below the 5×13 rectangle), each quadrilateral needs to overlap the triangle by an area of half a unit for its top/bottom edge to align with a grid line, resulting overall loss in one unit square area. Mitsunobu Matsuyama's "paradox" uses four congruent quadrilaterals and a small square, which form a larger square. When the quadrilaterals are rotated about their centers they fill the space of the small square, although the total area of the figure seems unchanged. The apparent paradox is explained by the fact that the side of the new large square is a little smaller than the original one. If θ is the angle between two opposing sides in each quadrilateral, then the ratio of the two areas is given by sec2 θ. For θ = 5°, this is approximately 1.00765, which corresponds to a difference of about 0.8%. A vanishing puzzle is a mechanical optical illusion showing different numbers of a certain object when parts of the puzzle are moved around.