Астромеханикада қашқыштық жылдамдық тұжырымы

Кіріспе

Аспан механикасындағы түсінік

Аспан механикасында, құтылу жылдамдығы – денені негізгі денемен байланыстан немесе оның орбитасынан босату үшін қажетті ең төменгі жылдамдық, егер:
Баллистикалық траектория – дененің үстінен басқа күштер әсер етпесе, соның ішінде қозғалтқыш күші мен үйкеліс
Басқа гравитациялық күштер тудыратын денелер болмаса

Құтылу жылдамдығы деген термин жиі қолданылса да, оны жылдамдықтан гөрі жылдамдық ретінде сипаттау дұрыс, себебі ол бағыттан тәуелсіз. Екі дене арасындағы гравитациялық күш олардың жалпы массасына байланысты болғандықтан, құтылу жылдамдығы да массаға байланысты. Жасанды спутниктер мен кішкентай табиғи денелер үшін дененің массасы жалпы массаға аз үлес қосады, сондықтан оны көбінесе ескермейді. Құтылу жылдамдығы негізгі дененің ортасынан қашықтыққа қарай өзгереді, сондай-ақ негізгі дененің гравитациялық әсерімен қозғалатын дененің жылдамдығы да өзгереді. Егер дененің орбитасы дөңгелек немесе эллипстік болса, оның жылдамдығы әрқашан қазіргі қашықтықтағы құтылу жылдамдығынан төмен болады. Керісінше, егер ол гиперболалық траекторияда болса, оның жылдамдығы қазіргі қашықтықтағы құтылу жылдамдығынан жоғары болады. (Ол қашықтық артқан сайын баяулайды, бірақ оң жылдамдыққа асимптотикалық түрде жақындайды.) Параболалық траекториядағы дененің жылдамдығы әрқашан қазіргі қашықтықтағы құтылу жылдамдығына тең болады. Ол оң кинетикалық энергия мен теріс гравитациялық потенциалдық энергияны дәл теңестіреді; ол әрқашан баяулайды, асимптотикалық түрде нөлдік жылдамдыққа жақындайды, бірақ тоқтамайды. Құтылу жылдамдығын есептеу әдетте дененің белгілі бір дененің гравитациялық ықпал аймағында қалуын анықтау үшін қолданылады. Мысалы, Күн жүйесін зерттеу кезінде зондтың Жерді айналып жүре беруіне немесе гелиоцентрлік орбитаға шығуына болатынын білу пайдалы. Сондай-ақ, зондты мақсатты денеге гравитациялық тұтқындау үшін оның қаншалықты баяулау керектігін білу де маңызды. Ракеталар бір маневрде құтылу жылдамдығына жете бермейді, ал денелер гравитациялық көмек арқылы ірі денелерден кинетикалық энергияны ала алады. Нақты траекторияны есептеу үшін атмосфералық кедергі, радиациялық қысым және күн желдері сияқты шағын күштерді ескеру қажет. Ұдайы немесе үзіліспен итерумен жұмыс істейтін ракета (немесе ғарыш лифтісімен көтерілетін дененің) нөлдік емес кез келген жылдамдықпен құтылуға мүмкіндігі бар, бірақ оны іске асыру үшін қажетті ең аз энергия мөлшері әрқашан бірдей болады.

Although the term escape velocity is common, it is more accurately described as a speed than a velocity because it is independent of direction. Because gravitational force between two objects depends on their combined mass, the escape speed also depends on mass. For artificial satellites and small natural objects the mass of the object makes a negligible contribution to the combined mass, and so is often ignored. Escape speed varies with distance from the center of the primary body, as does the velocity of an object traveling under the gravitational influence of the primary. If an object is in a circular or elliptical orbit, its speed is always less than the escape speed at its current distance. In contrast if it is on a hyperbolic trajectory its speed will always be higher than the escape speed at its current distance. (It will slow down as it gets to greater distance, but do so asymptotically approaching a positive speed.) An object on a parabolic trajectory will always be traveling exactly the escape speed at its current distance. It has precisely balanced positive kinetic energy and negative gravitational potential energy; it will always be slowing down, asymptotically approaching zero speed, but never quite stop. Escape velocity calculations are typically used to determine whether an object will remain in the gravitational sphere of influence of a given body. For example, in solar system exploration it is useful to know whether a probe will continue to orbit the Earth or escape to a heliocentric orbit. It is also useful to know how much a probe will need to slow down in order to be gravitationally captured by its destination body. Rockets do not have to reach escape velocity in a single maneuver, and objects can also use a gravity assist to siphon kinetic energy away from large bodies. Precise trajectory calculations require taking into account small forces like atmospheric drag, radiation pressure, and solar wind. A rocket under continuous or intermittent thrust (or an object climbing a space elevator) can attain escape at any non zero speed, but the minimum amount of energy required to do so is always the same.

Қажетті энергия

Массасы бар объект үшін Жердің гравитациялық өрісінен қашуға қажетті энергия GMm / r, бұл объектінің массасының функциясы (мұнда r – Жердің радиусы, шамамен 6,371 километр, G – гравитациялық тұрақты, ал M – Жердің массасы). Осыған байланысты шама – нақты орбиталық энергия, ол кинетикалық және потенциалдық энергияның массаға бөлінген қосындысынан тұрады. Объектінің нақты орбиталық энергиясы нөлге тең немесе одан жоғары болғанда, ол қашу жылдамдығына жетеді.

Релятивистік

Сол нәтиже релятивистік есептеу арқылы да қол жеткізіледі, онда r айнымалысы Шварцшильд метрикасының радиалдық координатасын немесе айналым ұзындығын көрсетеді.

Айналмалы денеден

Айналып тұратын дененің бетіндегі ең төменгі жылдамдық, дененің қай бағытта қашып бара жатынына байланысты өзгереді. Мысалы, Жердің экватордағы айналу жылдамдығы 465 м/с болғандықтан, Жердің экваторынан шығысқа қарай жанама бағытта ұшырылған ракетаға қашып шығу үшін, ұшырылған жердегі қозғалмалы бетке қатысты шамамен 10.735 км/с бастапқы жылдамдық керек, ал Жердің экваторынан батысқа қарай жанама бағытта ұшырылған ракетаға сол қозғалмалы бетке қатысты шамамен 11.665 км/с бастапқы жылдамдық қажет. Беттік жылдамдық географиялық ендіктің косинусына пропорционалды түрде кемиді, сондықтан ғарышқа ұшыру алаңдары мүмкіндігінше экваторға жақын орналастырылады, мысалы, АҚШ-тың Канаверал құрылысы (солтүстік ендік 28°28′) және Француз Гвианасының ғарыш орталығы (солтүстік ендік 5°14′).

Іс жүзіндегі ескертулер

Көптеген жағдайларда қашу жылдамдығына дерлік бірден қол жеткізу іс жүзінде мүмкін емес, себебі бұл үлкен үдеуді талап етеді, сондай-ақ атмосфера болған жағдайда, гипердыбыстық жылдамдықтар (Жерде 11,2 км/с немесе 40 320 км/сағ) көптеген денелердің аэродинамикалық қызудан өртелуіне немесе атмосфералық қарсылықтан ыдырауына себеп болады. Нақты қашу орбитасы үшін ғарыш кемесі атмосферадан шығып, оның биіктігіне сай қашу жылдамдығына жеткенше бірте-бірте үдеуді жалғастырады (бұл жылдамдық жер бетіндегіден төмен болады). Көптеген жағдайларда ғарыш кемесі алдымен тұрақтандыру орбитасына (мысалы, Жердің төменгі орбитасы 160–2000 км) шығарылып, содан кейін сол биіктікте қашу жылдамдығына дейін үдетіледі, ол сәл төмен болады (Жердің төменгі орбитасы 200 км-де шамамен 11,0 км/с). Алайда, қажетті қосымша жылдамдық өзгерісі одан әлдеқайда аз, себебі ғарыш кемесінің орбиталық жылдамдығы жоғары (Жердің төменгі орбитасында жылдамдық шамамен 7,8 км/с немесе 28 080 км/сағ).

Орбиталық денеден

Берілген биіктіктегі қашқыштық жылдамдық сол биіктіктегі дөңгелек орбитадағы жылдамдыққа √2 есе артық болады (мұны дөңгелек орбитадағы жылдамдық теңдеуімен салыстырыңыз). Бұл осындай орбитадағы дененің шексіздікке қатысты потенциалдық энергиясы оның кинетикалық энергиясының минус екі есесіне тең екенін, ал қашқыштық үшін потенциалдық және кинетикалық энергиялардың қосындысы кем дегенде нөл болуы керек екенін көрсетеді. Дөңгелек орбитаға сәйкес келетін жылдамдық кейде бірінші ғарыштық жылдамдық деп аталады, ал осы контексте қашқыштық жылдамдық екінші ғарыштық жылдамдық деп аталады. Эллипстік орбитадағы дененің қашқыштық орбитаға жылдамдығын арттыру үшін қажетті жылдамдық өзгереді және дененің орталық дененің ең жақын нүктесіне, яғни периапсиске жеткенде ең жоғары болады. Дегенмен, дененің орбиталық жылдамдығы да осы нүктеде ең жоғары болады, ал қажетті жылдамдық өзгеруі ең төмен болады, бұл Оберт эффектісімен түсіндіріледі.

Барицентрикалық қашу жылдамдығы

Қашу жылдамдығын басқа, орталық денеге қатысты немесе денелер жүйесінің массалық орталығына немесе бариортасына қатысты өлшеуге болады. Осылайша, екі дене жүйесі үшін қашу жылдамдығы термині бельгісіз болуы мүмкін, бірақ көбінесе ол кіші массалы дененің барицентрлік қашу жылдамдығын білдіреді. Қашу жылдамдығы әдетте нөлдік массалы сынақ бөлшектерінің қашу жылдамдығын көрсетеді. Нөлдік массалы сынақ бөлшектері үшін "бір-біріне қатысты" және "барицентрлік" қашу жылдамдықтары бірдей, атап айтқанда, бірақ егер кіші массаны (мысалы, ) ескермесек, сәл өзгеше формулаларға жетеміз. Жүйе импульс сақталу заңына бағыну керек болғандықтан, үлкен де, кіші де массаның гравитациялық өрісте үдеуі керек екенін көреміз. Массалық орталығына қатысты үлкен массаның жылдамдығын (планета үшін) кіші массаның жылдамдығы (ракета үшін) арқылы өрнектеуге болады. Соның салдарынан "барицентрлік" қашу жылдамдығы: , ал "басқаға қатысты" қашу жылдамдығы: болады.

Құтылу жылдамдықтарының тізімі

Бұл кестеде сол жақтағы бөлім планетаның немесе айдың ортасына қатысты (яғни, оның қозғалатын бетіне емес) көрінетін беттен (мысалы, Юпитер сияқты газды беттен) қашу жылдамдығын көрсетеді. Оң жақтағы бөлімде Ve – орталық денеге (мысалы, Күнге) қатысты жылдамдық, ал Vte – кіші денеге (планетаға немесе айға) қатысты жылдамдық (кіші дененің көрінетін бетінде). Орналасуы Ve-ге қатысты (км/с) Орналасуы Ve-ге қатысты (км/с) Күннен 1774 АЕ Күннің гравитациясы 1 Оқиғалар горизонтында Қара тесіктің гравитациясы 299 792,458 (жарық жылдамдығы) Соңғы екі баған орбитада қашу жылдамдығының қай жерде өлшенгеніне байланысты болады, себебі орбиталар толық дөңгелек емес (әсіресе Меркурий және Плутон).