Введение

Относится к оцифрованным моделям или изображениям объектов двумерного или трехмерного Евклидова пространства. Цифровая геометрия изучает дискретные множества (обычно дискретные наборы точек), рассматриваемые как оцифрованные модели или изображения объектов двумерного или трехмерного Евклидова пространства. Проще говоря, оцифровка – это замена объекта дискретным набором его точек. Изображения, которые мы видим на экране телевизора, растровом дисплее компьютера или в газетах, фактически являются цифровыми изображениями. Основные области применения – компьютерная графика и анализ изображений. Основные аспекты исследования включают: создание оцифрованных представлений объектов с акцентом на точность и эффективность (либо посредством синтеза, например, алгоритма построения линии Брезенхэма или цифровых дисков, либо посредством оцифровки и последующей обработки цифровых изображений). Изучение свойств цифровых множеств, например, теоремы Пика, цифровой выпуклости, цифровой прямолинейности или цифровой плоскостности. Преобразование оцифрованных представлений объектов, например, (А) в упрощенные формы, такие как (i) скелеты, путем многократного удаления простых точек без изменения цифровой топологии изображения, или (ii) медиальную ось, путем вычисления локальных максимумов в преобразовании расстояний для данного оцифрованного представления объекта, или (B) в модифицированные формы с использованием математической морфологии. Реконструкция "реальных" объектов или их свойств (площади, длины, кривизны, объема, площади поверхности и т. д.) по цифровым изображениям. Изучение цифровых кривых, цифровых поверхностей и цифровых многообразий. Разработка алгоритмов отслеживания цифровых объектов. Функции в цифровом пространстве. Скетчинг кривых – метод рисования кривой пиксель за пикселем. Цифровая геометрия тесно связана с дискретной геометрией и может рассматриваться как ее часть.

Цифровое пространство

2D цифровое пространство обычно означает 2D-решетчатое пространство, содержащее только целочисленные точки в 2D-евклидовом пространстве. 2D-изображение – это функция, определенная на 2D-цифровом пространстве (см. обработку изображений). В книге Розенфельда и Кака цифровая связность определяется как отношение между элементами в цифровом пространстве. Например, 4-связность и 8-связность в 2D. См. также связность пикселей. Цифровое пространство и его (цифровая) связность определяют цифровую топологию. В цифровом пространстве были независимо предложены цифрово-непрерывная функция (А. Розенфельд, 1986) и плавно меняющаяся функция (Л. Чен, 1989). Цифровой непрерывной функцией называется функция, в которой значение (целое число) в цифровой точке либо совпадает со значениями в соседних точках, либо отличается от них не более чем на 1. Иными словами, если x и y – две соседние точки в цифровом пространстве, то |f(x) – f(y)| ≤ 1. Плавно меняющаяся функция – это функция из цифрового пространства в , где и – действительные числа. Эта функция обладает следующим свойством: если x и y – две соседние точки в , и предположим , то , , или . Таким образом, можно видеть, что плавно меняющаяся функция определяется как более общая, чем цифровая непрерывная функция. Теорема об расширении, связанная с вышеуказанными функциями, была упомянута А. Розенфельдом (1986) и дополнена Л. Ченом (1989). Эта теорема утверждает: пусть и . Необходимым и достаточным условием существования плавно меняющегося расширения функции является: для каждой пары точек и в , если и , то , где – (цифровое) расстояние между и .