Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Отрасль геометрии, изучающая комбинаторные свойства и конструктивные методы.
Branch of geometry that studies combinatorial properties and constructive methods
Дискретная геометрия и комбинаторная геометрия – это разделы геометрии, изучающие комбинаторные свойства и конструктивные методы дискретных геометрических объектов. Большинство вопросов в дискретной геометрии связаны с конечными или дискретными множествами основных геометрических объектов, таких как точки, линии, плоскости, окружности, сферы, многоугольники и так далее. Предмет фокусируется на комбинаторных свойствах этих объектов, например, на том, как они пересекаются друг с другом, или как их можно расположить для покрытия большего объекта. Дискретная геометрия тесно связана с выпуклой геометрией и вычислительной геометрией, а также с такими областями, как конечная геометрия, комбинаторная оптимизация, цифровая геометрия, дискретная дифференциальная геометрия, геометрическая теория графов, торическая геометрия и комбинаторная топология.
Discrete geometry and combinatorial geometry are branches of geometry that study combinatorial properties and constructive methods of discrete geometric objects. Most questions in discrete geometry involve finite or discrete sets of basic geometric objects, such as points, lines, planes, circles, spheres, polygons, and so forth. The subject focuses on the combinatorial properties of these objects, such as how they intersect one another, or how they may be arranged to cover a larger object. Discrete geometry has a large overlap with convex geometry and computational geometry, and is closely related to subjects such as finite geometry, combinatorial optimization, digital geometry, discrete differential geometry, geometric graph theory, toric geometry, and combinatorial topology.
История
Хотя полиэдры и тесселяции изучались на протяжении многих лет такими учеными, как Кеплер и Коши, современная дискретная геометрия берет свое начало в конце XIX века. Первыми исследованными темами были: плотность упаковки окружностей Тью, проективные конфигурации Рейе и Штайница, геометрия чисел Минковского и раскраска карт Тайтом, Хьювудом и Хадвигером. Ласло Фейес Тот, Х. С. М. Коксетер и Пол Эрдош заложили основы дискретной геометрии.
Although polyhedra and tessellations had been studied for many years by people such as Kepler and Cauchy, modern discrete geometry has its origins in the late 19th century. Early topics studied were: the density of circle packings by Thue, projective configurations by Reye and Steinitz, the geometry of numbers by Minkowski, and map colourings by Tait, Heawood, and Hadwiger. László Fejes Tóth, H. S. M. Coxeter, and Paul Erdős laid the foundations of discrete geometry.
Ориентированные матроиды
Ориентированный матроид — это математическая структура, которая обобщает свойства ориентированных графов и расположений векторов в векторном пространстве над упорядоченным полем (особенно в случае частично упорядоченных векторных пространств). В отличие от него, обычный (то есть неориентированный) матроид обобщает свойства зависимости, общие как для графов, которые не обязательно ориентированы, так и для расположений векторов над полями, которые не обязательно упорядочены.
An oriented matroid is a mathematical structure that abstracts the properties of directed graphs and of arrangements of vectors in a vector space over an ordered field (particularly for partially ordered vector spaces). In comparison, an ordinary (i. e., non oriented) matroid abstracts the dependence properties that are common both to graphs, which are not necessarily directed, and to arrangements of vectors over fields, which are not necessarily ordered.
Упрощенные комплексы
Симплициальный комплекс — это топологическое пространство определенного типа, построенное путём «склеивания» точек, отрезков прямых, треугольников и их n-мерных обобщений (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества, возникающим в современной теории симплициальной гомотопии. Чистым комбинаторным аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс. См. также случайные геометрические комплексы.
A simplicial complex is a topological space of a certain kind, constructed by "gluing together" points, line segments, triangles, and their n dimensional counterparts (see illustration). Simplicial complexes should not be confused with the more abstract notion of a simplicial set appearing in modern simplicial homotopy theory. The purely combinatorial counterpart to a simplicial complex is an abstract simplicial complex. See also random geometric complexes.
Цифровая геометрия
Цифровая геометрия изучает дискретные множества (обычно дискретные наборы точек), рассматриваемые как оцифрованные модели или изображения объектов двумерного или трехмерного евклидова пространства. Говоря проще, оцифровка — это замена объекта дискретным набором его точек. Изображения, которые мы видим на экране телевизора, растровом дисплее компьютера или в газетах, по сути, являются цифровыми изображениями. Основные области её применения — компьютерная графика и анализ изображений.
Digital geometry deals with discrete sets (usually discrete point sets) considered to be digitized models or images of objects of the 2D or 3D Euclidean space. Simply put, digitizing is replacing an object by a discrete set of its points. The images we see on the TV screen, the raster display of a computer, or in newspapers are in fact digital images. Its main application areas are computer graphics and image analysis.